M01 - Základy lineární algebry

Definice 5. Uvažujme matici A typu (m, n). Je-li p přirozené číslo, p ≤ m, p ≤ n,
můžeme z matice A vybrat p řádků a p sloupců. Z prvků, které jsou v těchto
p řádcích a p sloupcích, sestavíme čtvercovou matici řádu p, která se nazývá
submatice řádu p matice A. Přirozeně lze také takové čtvercové matici přiřadit
determinant, který se nazývá subdeterminant (minor) řádu p matice A.

53

Lineární algebra

Příklad 20. Pro matici

2 1 3 2

−2 3 2 1

2 3 2 3

jsou

3 2
3 2

!

a

2 1 3

−2 3 2

2 3 2

submaticemi 2. a 3. řádu;

3 2
3 2

= 0 a

2 1 3

−2 3 2

2 3 2

=

2 1

3

0 4

5

0 2 −1

= 2 ·

4

5

2 −1

= 2 · (−4 − 10) = −28

jsou příslušné minory 2. a 3. řádu.

Platí následující tvrzení.

Věta 3. Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou
rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p.

Důkaz: Rozvinutím subdeterminantu řádu p + 1 matice A podle některého řádku

nebo sloupce převedeme jeho výpočet na determinanty řádu p, které jsou podle před-
pokladu rovny nule. Analogicky budou rovny nule i subdeterminanty řádu p + 2 matice
A, atd.

Nyní můžeme, opřeni o předcházející větu, charakterizovat pojem hodnosti

matice pomocí determinantů.

Věta 4. Matice A má hodnost h, jestliže existuje aspoň jeden její subdetermi-
nant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud
existují) jsou rovny nule.

Poznámka 5. Dá se ukázat, že uvedená charakterizace je ekvivalentní s defi-

nicí hodnosti matice v kapitole 2. Z dalšího příkladu uvidíme, že stanovení hod-
nosti matice pomocí věty 4 je spojeno s výpočtem značného množství determi-
nantů. Proto je praktičtější způsob popsaný v kapitole 2 části 2.3.