M01 - Základy lineární algebry

přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu |C| je součtem k-tých řádků
(sloupců) determinantů |A| a |B|, pak platí |C| = |A| + |B|.

8. Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci)

k-násobek jiného řádku (sloupce).

9. Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci)

lineární kombinaci zbylých řádků (sloupců).

10. Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny

nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále.

Důkaz: K důkazu vlastností determinantů použijeme indukce. Podle části 3.2. víme,

že vlastnosti platí pro n = 2, 3. Za předpokladu, že věta platí pro n = k − 1, dokážeme,
že platí pro n = k. Tím budou vlastnosti platit pro všechna n ∈ N.

1. Plyne přímo z definice determinantu n-tého řádu. Skutečně, transponováním

přejde i-tý řádek v i-tý sloupec i ∈ {1, 2, . . . , n}, a rozvoj podle k-tého řádku v pů-
vodním determinantu je identický s rozvojem podle k-tého sloupce v determinantu po
transponování.

2. Vyměňme i-tý a j-tý řádek. Protože n ≥ 3, existuje k, k 6= i , k 6= j takové, že

takto vzniklý determinant se dá vyjádřit ve tvaru |A0| = ak1 ¯

A0

k1 + . . . + akn

¯

A0

kn.

Na

determinanty ¯

A0

kl , l = 1, . . . , n , použijeme indukčního předpokladu. Pak dostaneme

|A0| = −ak1 ¯

Ak1 − . . . − akn ¯

Akn = −|A|.

3. Nechť řádek, který obsahuje samé nuly je k-tý, tj. akl = 0 pro l = 1, . . . , n. Pak

|A| = P

l akl

¯

Akl = 0.

4. Nechť stejné řádky jsou i-tý a j-tý. Protože n ≥ 3, existuje k, k 6= i, k 6= j

takové, že |A|

=

P

l

akl ¯

Akl. Tento součet je roven nule, protože podle indukčního