M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
7
= 3 · 2 ·
1
1
5
−1
2 −5
3 −2
7
=
= 6 · (14 − 15 + 10 − 30 − 10 + 7) = 6 · (−24) = −144
6. Je-li některý řádek (sloupec) determinantu násobkem jiného řádku (sloupce),
má determinant hodnotu rovnou nule.
Plyne z vlastností 4. a 5.
Příklad 10.
2
1 −1
1
8
1
3 24
3
= 48 + 3 − 24 + 24 − 3 − 48 = 0 = 3 ·
2 1 −1
1 8
1
1 8
1
7. Determinant, v jehož jednom řádku (sloupci) jsou jako prvky součty dvou
čísel, můžeme nahradit součtem dvou determinantů. Obráceně součet determi-
nantů, které se liší jen prvky jednoho řádku (sloupce), můžeme nahradit jedním
determinantem.
Jestliže
|A| =
a11 a12
a21 a22
,
|B| =
b11 a12
b21 a22
, pak
|C| =
a11 + b11 a12
a21 + b21 a22
= (a11 + b11)a22 − a12(a21 + b21) =
= (a11a22 − a12a21) + (b11a22 − a12b21) =
= |A| + |B|.
46
3. Determinanty
Příklad 11.
ax a2 + x2 1
ay
a2 + y2
1
az
a2 + z2
1
=
ax a2 1
ay
a2 1
az
a2 1
+
ax x2 1
ay
y2
1
az
z2
1
=
= a · a
2 ·
x 1 1
y
1 1
z
1 1
+ a ·
x x2 1
y
y2
1
z
z2
1
=
= a
3 · 0 + a · (xy2 + x2z + yz2 − y2z − x2y − xz2) = a(x − z)(y − z)(y − x)
8. Hodnota determinantu se nezmění, jestliže k jednomu řádku (sloupci) při-
čteme k-násobek jiného řádku (sloupce).
a11
a12
a21 + ka11 a22 + ka12
=
a11 a12
a21 a22
+
a11
a12
ka11 ka12
=
=
a11 a12
a21 a22
+ k
a11 a12
a11 a12
=
a11 a12
a21 a22
+ 0 =
a11 a12
a21 a22
Příklad 12.
1 3
1
2 1 −1
2 2
0
= −6 + 4 − 2 + 2 = −2
Připočteme-li k 2. řádku 1. řádek násobený (−2), dostaneme determinant
1
3
1
0 −5 −3
2
2
0
= −18 + 10 + 6 = −2
9. Hodnota determinantu se nezmění, přičteme-li k danému řádku (sloupci)
lineární kombinaci zbylých řádků (sloupců). Přitom na řádky (sloupce) determi-
nantu pohlížíme jako na aritmetické vektory.