M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
předpokladu ¯
Akl = 0.
5. Vynásobme i-tý řádek číslem k. Rozvojem podle i-tého řádku dostaneme
51
Lineární algebra
|A0| = P
j
(kaij) · ¯
Aij = k
P
j
aij ¯
Aij = k|A|.
6. Plyne z 5 (vytkneme k) a ze 4 (dostaneme determinant se dvěma stejnými řádky).
7. Rozvojem podle k-tého řádku dostaneme
|C| = P
l
ckl ¯
Ckl =
P
l
(akl + bkl) ¯
Ckl =
P
l
akl ¯
Akl +
P
l
bkl ¯
Bkl = |A| + |B|, protože
z předpokladu plyne, že ¯
Ckl = ¯
Akl = ¯
Bkl
pro
l = 1, . . . , n.
8. Rozepíšeme-li nově vzniklý determinant podle 7 na součet dvou determinantů,
dostaneme kromě původního determinantu ještě determinant, jehož dva řádky jsou
k-násobky. Pak užijeme vlastnost 6.
9. Plyne z vlastností 7 a 8.
10. Rozvíjením vždy podle 1. řádku dostaneme
|A| =
a11
0
. . .
0
a21
a22
. . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
= a11
a22
0
. . .
0
a32
a33
. . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an2 an3 . . . ann
= . . . = a11a22 . . . ann.
Příklad 17. Rozvojem podle 1. řádku vypočteme hodnotu determinantu
2 1
0
8
2 2
1
10
−2 2
2 −1
4 3 −1
19
.
Řešení. Platí
2 1
0
8
2 2
1
10
−2 2
2 −1
4 3 −1
19
= 2 · (−1)
1+1
2
1
10
2
2 −1
3 −1
19
+ 1 · (−1)
1+2
2
1
10
−2
2 −1
4 −1
19
+
+ 0 · (−1)
1+3
2 2
10
−2 2 −1
4 3
19
+ 8 · (−1)
1+4
2 2
1
−2 2
2
4 3 −1
=
= 2 · (76 − 20 − 3 − 60 − 2 − 38) − (76 + 20 − 4 − 80 − 2 + 38) + 0 − 8 · (−4 − 6 +
16 − 8 − 12 − 4) = = 2 · (−47) − 48 − 8 · (−18) = −94 − 48 + 144 = 2 .
Poznámka 4. Je vidět, že je výhodné počítat determinant rozvojem podle