M01 - Základy lineární algebry

|A| =

X

j

aij ¯

Aij =

X

i

aij ¯

Aij .

Důkaz:

a)

|A| =

a11 a12
a21 a22

= a11a22−a12a21 = a11 ¯

A11+a12 ¯

A12 = a21 ¯

A21+a22 ¯

A22

atd.

b)

|A| =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

= a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a13a22a31−a12a21a33−

−a23a32a11 = a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) =

= a11 ¯

A11 + a12 ¯

A12 + a13 ¯

A13

atd.

Příklad 16. Tzv. rozvojem podle 1. řádku vypočteme hodnotu determinantu

1 0 0
2 1 3
3 1 2

.

Řešení. Platí

1 0 0
2 1 3
3 1 2

= 1 ·

1 3
1 2

− 0 ·

2 3
3 2

+ 0 ·

2 1
3 1

= 1 · 2 − 3 · 1 − 0 + 0 = −1 .

Poznámka 3. Uvedená věta nám poslouží pro definici determinantů vyšších

řádů a jejich výpočet. Hovoříme o tzv. Laplaceově rozvoji determinantu podle
daného řádku (sloupce).

49

Lineární algebra

3.3

Determinanty n-tého řádu

Podobně jako o determinantech druhého nebo třetího řádu mluvíme také o de-
terminantech n-tého řádu, n ∈ N, tj. schematech

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

.

Pro n = 1 nám vychází, že determinant prvního řádu je jediný prvek a11.

Sarrusovo pravidlo pro vyčíslení hodnoty determinantu vyššího řádu než tře-

tího neplatí. Pro definici hodnoty determinantu n-tého řádu použijeme větu 1
a skutečnosti, že algebraický doplněk prvku aij je minor řádu n − 1 opatřený
znaménkem. Můžeme tedy definovat determinant 4. řádu pomocí determinantů
3. řádu, atd. a analogicky determinant n-tého řádu pomocí determinantů řádu
n − 1.

Definice 4. Nechť aij, i, j = 1, 2, . . . , n jsou libovolná reálná čísla. Schema
tvaru

|A| =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n