M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
◦ 15. a) Závislé ; b) Nezávislé .
38
2. Matice
◦ 16. u − v = −2
◦ 17. a)
16 −5
−3
1
b) Neexistuje ; c)
− 3
4
− 1
2
− 7
4
− 3
2
d)
1 0 0
3 1 0
0 3 1
e)
1
9
1
2
2
2
1 −2
2 −2
1
f) Neexistuje ;
g)
2
−1
0
0
−3
2
0
0
31 −19
3 −4
−23
14 −2
3
h)
1
2 0 0 0
0 −
1
2
0 0 0
0
5
2
1 0 0
0
−4 0 1 0
0
1
2
0 0 1
◦ 18. a) X = −A + B − 2C =
0
3
2 −1
!
b) X = 4B − 3A =
6
13
−17 −2
6
12
c) X = A−1 · B · A−1 =
1
1 0
−1
0 1
0 −1 1
d) X = (A2)−1 · (C − B) =
1
9
−4
3
1 −9
!
e) X = A−1 · C · B−1 =
24
13
−34 −18
!
39
Lineární algebra
40
Kapitola 3
DETERMINANTY
3.1
Determinanty 2. a 3. řádu
Motivace
Uvažujme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x1 , x2 tvaru
a11x1 + a12x2 =
b1
a21x1 + a22x2 = b2,
(∗)
kde a11, a12, b1, a21, a22, b2
jsou reálná čísla. Taková soustava se nejčastěji řeší
vylučovací metodou.
Vynásobíme-li 1. rovnici číslem a22 a 2. rovnici číslem − a12, pak sečtením
takto upravených rovnic dostaneme
(a11a22 − a12a21) x1 = b1a22 − b2a12.
Podobně můžeme vyloučit x1 , když vynásobíme 1. rovnici číslem − a21
a 2.
rovnici číslem a11. Po sečtení dostaneme
(a11a22 − a12a21) x2 = b2a11 − b1a21.
Jestliže výraz a11a22 − a12a21 6= 0 , pak má soustava rovnic (∗) právě jedno
řešení tvaru
x1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21
,
x2 =
b2a11 − b1a21
a11a22 − a12a21
.
(∗∗)
Všimněme si, že jmenovatel obou zlomků je stejný. Je vytvořen z koeficientů
soustavy rovnic podle analogického pravidla jako čitatelé obou zlomků, tj. jako
rozdíl součinu určitých koeficientů. To vede k definici.
Definice 1. Nechť aij, i, j = 1, 2 jsou libovolná reálná čísla. Schema tvaru
a11 a12
a21 a22