M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z vlastnosti 1 plyne, že platí-li nějaké tvrzení pro řádky, pak toto tvrzení je
správné i pro sloupce determinantu a naopak.
2. (O výměně řad) Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva navzájem
různé řádky (sloupce), změní se znaménko hodnoty determinantu.
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21 = −(a21a12 − a11a22) = −
a21 a22
a11 a12
Příklad 5.
2 1 −1
0 3 −2
1 2
0
= −2 + 3 + 8 = 9,
2 1 −1
1 2
0
0 3 −2
= −8 − 3 + 2 = −9
3. Jestliže některý řádek (sloupec) determinantu obsahuje samé nuly, pak je
hodnota determinantu rovna nule.
a11 0
a21 0
= a11 · 0 − 0 · a21 = 0
Příklad 6.
2 1 −1
0 0
0
1 2
0
= 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 0
4. Hodnota determinantu, který má dva stejné řádky (sloupce), je rovna
nule.
Stačí zaměnit tyto dva stejné řádky (sloupce) a užít vlastnost 2. Z ní plyne v tomto
případě, že
a11 a12
a11 a12
= −
a11 a12
a11 a12
, což je možné jedině, když
a11 a12
a11 a12
= 0.
Příklad 7.
1 1
0
2 2
1
3 3 −1
= −2 + 3 − 3 + 2 = 0
45
Lineární algebra
5. (O násobení řady číslem) Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) de-
terminantu číslem k, pak hodnota vzniklého determinantu je k-násobek hodnoty
původního determinantu.
ka11 ka12
a21
a22
= (ka11)a22 − (ka12)a21 = k
a11 a12
a21 a22
Příklad 8.
2 1 −1
3 0
1
0 1 −1
= −3 − 2 + 3 = −2,
2 1 4 · (−1)
3 0
4 · 1
0 1 4 · (−1)
=
2 1 −4
3 0
4
0 1 −4
=
= −12 − 8 + 12 = −8 = 4 · (−2)
Této vlastnosti užíváme k vytknutí společného dělitele prvků některého řádku
nebo sloupce před determinant, abychom nemuseli násobit velká čísla.
Příklad 9.
1
2
5
−3
12 −15
3 −4
7
= 3 ·
1
2
5
−1
4 −5
3 −4