M01 - Základy lineární algebry

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

,

kterému je přiřazeno číslo

ai1 ¯

Ai1 + ai2 ¯

Ai2 + . . . + ain ¯

Ain

=

n

P

j=1

aij ¯

Aij , i ∈

{1, 2, . . . , n}, což se rovná číslu (srovnej větu 1) a1j ¯

A1j + a2j ¯

A2j + . . . + anj ¯

Anj =

n

P

i=1

aij ¯

Aij, j ∈ {1, 2, . . . , n}, kde ¯

Aij jsou algebraické doplňky prvků aij v |A|,

se nazývá determinant n-tého řádu.

Představme si nyní, že máme vypočítat hodnotu determinantu např. desátého

řádu. Podle definice to předpokládá sestavení deseti determinantů devátého řádu.
U každého determinantu devátého řádu opět devět determinantů osmého řádu
atd., až se dostaneme k determinantům třetího, případně druhého řádu, které
umíme vypočítat. Vidíme, že tento výpočet by byl značně zdlouhavý a pracný.
Proto při výpočtu determinantů n-tého řádu využíváme vlastností determinantů
popsané pro determinanty 2. a 3. řádu v části 3.2., které nyní dokážeme pro
obecný případ.

50

3. Determinanty

Věta 2. (Vlastnosti determinantů)

1. Hodnota determinantu se nemění, vyměníme-li sloupce za řádky.

2. Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce),

změní se znaménko determinantu.

3. Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota

determinantu rovna nule.

4. Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule.

5. Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k , je hod-

nota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního
determinantu.

6. Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku

(sloupce), je determinant roven nule.

7. Jsou-li |A|, |B|, |C| determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci),