M01 - Základy lineární algebry

Příklad 21.

Matice

A =

0

4 10

1

4

8 18

7

10 18 40 17

1

7 17

3

má hodnost

h(A) = 2.

Skutečně, např. minor

0 4
4 8

= −16 6= 0 a všechny minory 3. řádu (kterých

je celkem 16) jsou rovny nule. Např.

0 4 1
4 8 7
1 7 3

= 28 + 28 − 8 − 48 = 0.

54

3. Determinanty

Pojem determinantu je také užitečný při zkoumání inverzních matic.

Definice 6.

Nechť

A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

je čtvercová matice n − tého řádu.

Matice

¯

A11

¯

A21 . . .

¯

An1

¯

A12

¯

A22 . . .

¯

An2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¯

A1n

¯

A2n . . .

¯

Ann

, kde ¯

Aij je algebraický doplněk prvku aij,

se nazývá adjungovaná matice k matici A a označuje se adjA.

Poznámka 6. Prvky matice adjA jsou algebraické doplňky stejnolehlých

prvků matice AT , tj. algebraické doplňky prvků i-tého řádku matice A jsou v i-tém
sloupci matice adjA. Tj. platí

adjA = ( ¯

Aji) = ( ¯

Aij)

T .

Příklad 22. Určíme adjungovanou matici k matici A =

1 2
1 3

!

.

Řešení. Minor přidružený k prvku a11 je A11 = 3 , a tedy ¯

A11 = (−1)

1+1A

11

=

3 .
Dále A12 = 1 , ¯

A12 = (−1)

1+2A

12

= −1 . A21 = 2 , ¯

A21 = −2 , A22 =

1 = ¯

A22 .

Takže adjA =

¯

A11

¯

A21

¯

A12

¯

A22

!

=

3 −2

−1

1

!

.

Jedna z metod invertování matic používá adjungované matice. Platí následu-

jící tvrzení.

Věta 5. Nechť A je čtvercová matice, přičemž hodnota jejího determinantu
|A| je různá od nuly. Pak matice

A

−1 =

1

|A|

· adjA

je inverzní matice k matici A .

Důkaz: Platí

A

−1 ·A =

1

|A|

·adjA·A =

1

|A|

¯

A11

¯

A21

. . .

¯

An1

¯

A12

¯

A22

. . .

¯

An2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .