M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pak oba systémy S a S0 mají stejnou množinu řešení.
Poznámka 2. Především si všimněme, že úpravy 1– 6 z uvedené věty odpoví-
dají řádkovým úpravám rozšířené matice systému. Pomocí těchto úprav můžeme
daný systém značně zjednodušit. Řešením tohoto jednoduššího systému získáme
na základě předchozí věty i řešení původního systému. Na tomto principu spočívá
Gaussova eliminační metoda řešení systémů lineárních algebraických rovnic.
Daný systém převedeme na takový tvar S0, že matice systému S0 má schodovitý
tvar. Pak již snadno rozhodneme o existenci a počtu řešení i o jejich podobě.
Postup ukážeme na příkladech.
65
Lineární algebra
Příklad 4. Najdeme řešení soustavy rovnic
x1 +
x2 + 5x3 = −7
2x1 +
x2 +
x3 =
2
x1 + 3x2 +
x3 =
5
2x1 + 3x2 − 3x3 = 14.
Řešení. Určíme hodnost matice soustavy a rozšířené matice soustavy. Platí
1
1
5
−7
2
1
1
2
1
3
1
5
2
3
−3
14
∼
1
1
5
−7
0
−1
−9
16
0
2
−4
12
0
1
−13
28
∼
1
1
5
−7
0
−1
−9
16
0
0
−22
44
0
0
−22
44
∼
∼
1
1
5
−7
0
−1
−9
16
0
0
−22
44
0
0
0
0
Poněvadž
h(A) = h(Ar) = 3 = n, soustava má jediné řešení.
Při výpočtu jsme používali elementární řádkové úpravy matic. Těmto úpra-
vám odpovídají úpravy soustavy rovnic, které nemění řešení této soustavy. Tím
jsme převedli zadanou soustavu na soustavu jednodušší, jejíž řešení je stejné jako
řešení původní soustavy. Poslední matici odpovídá soustava rovnic
x1 + x2 +
5x3 = −7
− x2 −
9x3 =
16
− 22x3 =
44
0 =
0.
Odtud
x3 = 44/ − 22 = −2 ,
x2 = −9x3 − 16 = 18 − 16 = 2 ,
x1 = −x2 − 5x3 − 7 = −2 + 10 − 7 = 1.
Máme tedy řešení x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = −2 .
Poznámka 3. Zpětný výpočet můžeme provádět také přímo v matici A, kte-