M01 - Základy lineární algebry

zení.

Věta 4. Homogenní soustava A · X = O

n rovnic o n neznámých má netri-

viální řešení, právě když determinant soustavy je roven nule, tj. |A| = 0.

Důkaz: Nutná podmínka. Nechť A · X = O má netriviální řešení. Poněvadž nulový

vektor je také řešením, má soustava více než jedno řešení, a proto hodnost matice A
musí být menší než n. To však znamená, že |A| = 0.

Postačující podmínka. Jestliže |A| = 0, pak h(A) < n a soustava má podle věty 2.

nekonečně mnoho řešení, a tudíž i jiné než triviální řešení.

Příklad 9. Určíme číslo m tak, aby homogenní soustava

2x1 + 3x2 +

x3 = 0

−2x1 +

x2

= 0

m · x1 + 4x2 + 3x3 = 0

měla netriviální řešení.

70

4. Systémy lineárních algebraických rovnic

Řešení. Nutnou a postačující podmínkou je, aby determinant soustavy byl

nulový. Budeme tedy řešit rovnici

2 3 1

−2 1 0

m 4 3

= 0.

Platí

2

3 1

−2

1 0

m − 6 −5 0

= 0 , tj.

−2

1

m − 6 −5

= 0 ,

tj.

10 − (m − 6) = 0 , takže

m = 16.

Poznámka 4. Netriviální řešení homogenní soustavy rovnic A · X = O se dá

zapsat ve tvaru

X = α1X1 + α2X2 + . . . + αkXk ,

kde k = n − h, n je počet neznámých a h hodnost matice soustavy. Parametry
αi, i = 1, . . . , k mohou nabývat libovolných hodnot a n-členné vektory X1, X2, . . . , Xk
jsou lineárně nezávislé.

Tento tvar řešení se nazývá obecné řešení homogenní soustavy A·X = O,

vektory X1, X2, . . . , Xk tvoří tzv. fundamentální systém řešení.

Příklad 10. Najdeme obecné řešení soustavy

2x1 + 2x2 + 2x3 + 7x4 − 3x5 = 0

x1 +

x2 + 2x3 + 4x4 − 3x5 = 0