M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Poznámka 5. Obecné řešení nehomogenní soustavy m rovnic o n ne-
známých A · X = B je tvaru
X = X0 + XHOM ,
kde X0 je jedno pevně zvolené řešení nehomogenní soustavy a XHOM je obecné
řešení přidružené homogenní soustavy A · X = O.
CVIČENÍ 4 − Systémy lineárních algebraických rovnic
Kontrolní otázky
1. Napište systém m rovnic o n neznámých.
2. Co rozumíme řešením tohoto systému?
3. Kdy se systém nazývá homogenní?
4. Co to je matice systému a rozšířená matice systému?
5. Vysvětlete Cramerovo pravidlo.
6. Jaká je nutná a postačující podmínka pro existenci řešení systému?
7. Jaký je vztah mezi hodností matice systému, počtem neznámých a počtem
řešení?
8. Vysvětlete princip Gaussovy eliminační metody.
9. Jaký je rozdíl mezi Gaussovou a Jordanovou metodou?
10. Kolik řešení má homogenní systém?
11. Co to je fundamentální systém řešení?
12. Popište strukturu obecného řešení nehomogenního systému.
Příklady k procvičování
• 1. Pomocí Cramerova pravidla řešte systémy
a)
3x1 +2x2
+x3
= 0
2x1 +3x2
+x3
= 7
2x1
+x2
+3x3 = 1;
b)
x1 −2x2
+x3
= 0
3x1 −5x2 −2x3 = −3
7x1 −3x2
+x3 = 16;
c)
x1 −2x2 +5x3 = −3
2x1 −4x2 +3x3
= 8
3x1
+x3
= 0;
d)
x1 +2x2
−3x3 = −5
3x1 −4x2
+5x3 = 10
2x1 +5x2 −7x3 = −9;
e)
3x1
−2x2
+5x3
−6x4 = 0
2x1 −13x2 +40x3 −16x4 = 13
6x1
+5x2
−13x3
+3x4 = 1
7x1
+x2
−3x3
−3x4 = 2;
f)
x1 −2x2 +6x3
−x4 = 0
2x1 +2x2 +7x3
+2x4 = 6
6x1 +4x2
+x3
+x4 = 6
3x1 −8x2 +3x3 −x4 = −2.
72
4. Systémy lineárních algebraických rovnic
• 2. Řešte eliminační metodou systémy z příkladu 1.
• 3. Řešte eliminační metodou systémy
a)
2x1
−x2
+3x3 = 9
x1 +2x2 −3x3 = −2
3x1
+x2
= 6;
b)
x1
−x2
−x3
+x4 = 0
x1
−x2
+x3
−x4 = 1
2x1 −2x2 −4x3 +4x4 = −1;
c)
x1
−x3 = 2