M01 - Základy lineární algebry
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
|A3| =
−1
t −1
−2
1 −3
1 −5
0
=
−1 t − 5 −1
−2
−9
−3
1
0
0
=
t − 5 −1
−9
−3
=
= −3(t − 5) − 9 = 6 − 3t = 3(2 − t).
Odtud pro 2 6= t 6= 17 máme řešení
x1 =
|A1|
|A|
=
26(2 − t)
(t − 2)(t − 17)
=
26
17 − t
,
x2 =
|A2|
|A|
=
2 − t
(t − 2)(t − 17)
=
1
17 − t
,
x3 =
|A3|
|A|
=
3(2 − t)
(t − 2)(t − 17)
=
3
17 − t
.
68
4. Systémy lineárních algebraických rovnic
2. Pro hodnotu parametru t = 2 má soustava tvar
−x1 + 2x2 + 3x3 = −1
−2x1 +
x2 + 2x3 = −3
x1 − 5x2 − 7x3 =
0.
Protože matice této soustavy není regulární, nemůžeme použít Cramerovo pravi-
dlo. Použijeme Gaussovu eliminační metodu. Platí
−1
2
3 −1
−2
1
2 −3
1 −5 −7
0
∼
−1
2
3 −1
0 −3 −4 −1
0 −3 −4 −1
∼
−1
2
3 −1
0 −3 −4 −1
0
0
0
0
.
Matice soustavy má hodnost 2, což je zároveň hodnost matice rozšířené. Systém
má nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru, neboť n−h = 3−2 =
1.
Zvolíme-li např. x3 = p, pak z rovnice −3x2 − 4x3 = −1 dostaneme
x2 =
1
3 (−4p + 1)
a z rovnice −x1 + 2x2 + 3x3 = −1 máme
x1 = 1 +
2
3 (−4p + 1) + 3p =
1
3 (p + 5).
Dohromady tedy pro t = 2 je
X =
p + 5
3
,
−4p + 1
3
, p
, p ∈ R.
3. Pro hodnotu parametru t = 17 má soustava tvar
−x1 + 17x2 +
3x3 = −1
−2x1 +
x2 + 17x3 = −3
x1 −
5x2 −
7x3 =
0.
Platí
−1
17
3 −1
−2
1
17 −3
1 −5 −7
0
∼
−1
17
3 −1
0 −33
11 −1
0
12 −4 −1
∼
−1
17
3
−1
0 −3
1 −
1
11
0
3 −1 −
1
4
∼
∼
−1
17 3
−1
0 −3 1 −
1
11
0
0 0 −
15
44
.
Z upraveného tvaru vidíme, že hodnost matice soustavy je menší než hodnost
rozšířené matice soustavy. Tedy pro t = 17 nemá systém řešení.