M01 - Základy lineární algebry

a11x1

+

. . .

+

a1hxh = b1 − a1,h+1xh+1 − . . . −

a1nxn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ah1x1 + . . . + ahhxh = bh − ah,h+1xh+1 − . . . − ahnxn.

Zvolíme-li za neznámé xh+1, . . . , xn libovolná čísla, můžeme neznámé x1, . . . , xh jedno-
značně určit, např. Cramerovým pravidlem. Takto získané řešení vyhovuje i ostatním
n − h rovnicím, protože každá z nich je lineární kombinací prvních h rovnic. Navíc je z
upraveného tvaru vidět, že pro h < n má soustava nekonečně mnoho řešení a že n − h
vhodných neznámých lze volit jako parametry.

Pomocí postupu v důkazu právě dokázané věty můžeme soustavu A · X = B

řešit. Je ale nutné určit nejdříve h nezávislých rovnic, což úzce souvisí s určením
hodnosti matice soustavy a matice rozšířené. Zřejmě platí následující tvrzení.

Věta 3. Nechť je dán systém S lineárních algebraických rovnic A · X = B.
Utvořme ze systému S nový systém S0 pomocí následujících úprav.

1. Vyměníme vzájemně dvě rovnice systému S.

2. Násobíme některou rovnici systému S číslem k 6= 0.

3. Přičteme k jedné rovnici systému S k-násobek jiné rovnice systému S.

4. Přičteme k jedné rovnici systému S libovolnou lineární kombinaci ostat-

ních rovnic systému S.

5. Připojíme k systému S rovnici, která je lineární kombinací rovnic systému

S.

6. Vynecháme v systému S rovnici, která je lineární kombinací ostatních

rovnic systému S.