M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a rovnice vˇsak nemus´ı b´

yt vˇ

zdy s p˚

uvodn´ı ekvi-

valentn´ı (pˇri n´

asoben´ı rovnice v´

yrazem, kter´

y m˚

uˇ

ze nab´

yvat nulov´

ych hodnot, se

mohou objevit nov´

a ˇreˇsen´ı, nˇ

ekter´

a se naopak mohou ztratit). Ukaˇ

zme na pˇr´ıkladu,

jak se neexaktn´ı rovnice po vyn´

asoben´ı integraˇ

cn´ım faktorem zmˇ

en´ı na exaktn´ı.

Pˇ

r´ıklad 17. Najdˇ

ete obecn´

e ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice

(x + y) · dx + x ln x · dy = 0,

pomoc´ı integraˇ

cn´ıho faktoru

µ(x, y) =

1

x

.

Pˇritom pˇredpokl´

adejte, ˇ

ze x > 0.

ˇ

Reˇ

sen´ı. V p˚

uvodn´ı rovnice je

M (x, y) ≡ x + y

a

N (x, y) ≡ x ln x.

Proto

∂M (x, y)

∂y

= 1

a

∂N (x, y)

∂x

= 1 + ln x.

Rovnice nen´ı exaktn´ı, protoˇ

ze nen´ı splnˇ

ena podm´ınka (3.34). Po vyn´

asoben´ı v´

ychoz´ı

rovnice funkc´ı µ(x, y) = 1/x dost´

av´

ame

1 +

y

x

· dx + ln x · dy = 0.

Pro tuto rovnici je

M (x, y) ≡ 1 +

y

x

a

N (x, y) ≡ ln x

a podm´ınka (3.34) je splnˇ

ena. Skuteˇ

cnˇ

e

∂M (x, y)

∂y

=

1

x

=

∂N (x, y)

∂x

.

Pˇri hled´

an´ı kmenov´

e funkce pro posledn´ı rovnici postupujeme podle dan´

eho n´

avodu.

Dost´

av´

ame

∂f

∂x

= 1 +

y

x

= M (x, y),

3.3. EXAKTN´

I ROVNICE

51

odkud

f (x, y) = x + y ln x + g(y).

D´

ale

∂f

∂y

= 0 + ln x + g

0(y) = ln x,

proto

g

0(y) = 0 a g(y) = C.

Kmenov´

a funkce m´

a tvar

f (x, y) = x + y ln x + C,

kde C je libovoln´

a konstanta. Snadno lze ovˇ

eˇrit, ˇ

ze jednoparametrick´

a mnoˇ

zina

kˇrivek

x + y ln x + C = 0

je ˇreˇsen´ım obou rovnic na intervalu (0, ∞).

Cviˇ

cen´ı. Urˇ

cete obecn´

e ˇreˇsen´ı dan´

ych exaktn´ıch rovnic:

a)

4 −

y2

x2

dx +

2y

x

dy = 0,

h

4x2 + y2 = Cx

i

;

b)

3x2ey dx + (x3ey − 1) dy = 0

h

x3ey − y = C