M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∂f
∂y
=
∂
∂y
Z
M (x, y) dx
+ g
0(y) = N(x, y).
Odsud dost´
av´
ame
g
0(y) = N(x, y) −
∂
∂y
Z
M (x, y) dx
.
(3.39)
Nakonec integrujme posledn´ı vztah (3.39) podle promˇ
enn´
e y a z´ıskan´
y v´
ysledek
dosad’me do (3.38). T´ım bude nalezena kmenov´
a funkce f (x, y) a ˇreˇsen´ı exaktn´ı
rovnice (3.37) bude d´
ano vztahem f (x, y) = C, kde C je libovoln´
a konstanta. Tento
postup budeme ilustrovat na konkr´
etn´ım pˇr´ıkladu. Nejprve ale upozornˇ
eme na dva
podstatn´
e momenty v popsan´
em postupu ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice.
Prvn´ı pozn´
amkou je konstatov´
an´ı, ˇ
ze v´
yraz
N (x, y) −
∂
∂y
Z
M (x, y) dx
,
kter´
y je pravou stranou vztahu (3.39), je nez´
avisl´
y na promˇ
enn´
e x. Skuteˇ
cnˇ
e, de-
rivov´
an´ı podle promˇ
enn´
e x vede ke zjiˇstˇ
en´ı, ˇ
ze
∂
∂x
N (x, y) −
∂
∂y
Z
M (x, y) dx
=
∂N (x, y)
∂x
−
∂
∂y
∂
∂x
Z
M (x, y) dx
=
∂N (x, y)
∂x
−
∂M (x, y)
∂y
= 0.
T´ım je toto konstatov´
an´ı provˇ
eˇreno.
Pan Hodn´
y, v´
aˇs hodn´
y pr˚
uvodce studiem:
Vzpomeˇ
nte si, co to znamen´
a,
ˇ
ze derivace nˇ
ekter´
e funkce je identicky nulov´
a. Pokud se v´
ysledek nedostav´ı, navˇ
stivte
nejbliˇ
zˇ
s´ıho uˇ
citele matematiky, jistˇ
e V´
am pom˚
uˇ
ze.
Druhou pozn´
amkou je konstatov´
an´ı, ˇ
ze naˇse hled´
an´ı funkce f (x, y) bylo ,,nastar-
tov´
ano“ v´
yrazem (3.35). Protoˇ
ze parci´
aln´ı derivace funkce f (x, y) vyhovuj´ı dvˇ
ema
vztah˚
um, totiˇ
z vztah˚
um (3.35) a (3.36), bylo moˇ
zn´
e zaˇ
c´ıt ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice
druh´
ym vztahem (3.36), tj. vztahem ∂f /∂y = N (x, y). Po integraci funkce N (x, y)
48
KAPITOLA 3. DIFERENCI ´
ALN´
I ROVNICE PRVN´
IHO ˇ
R ´
ADU
podle promˇ
enn´
e y a n´
asledn´
ym derivov´
an´ı, lze nal´
ezt analogie vztah˚
u (3.38) a (3.39),
kter´
e budou m´ıt tvar