M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

sin x

3

,

odkud

C(x) = −

cos x

3

+ K.

Zaj´ım´

a n´

as pouze jedno partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı, proto m˚

uˇ

zeme poloˇ

zit K = 0. Obecn´

e

ˇreˇsen´ı rovnice (3.21) je rovno souˇ

ctu ˇreˇsen´ı asociovan´

e homogenn´ı rovnice a nˇ

ekter´

eho

partikul´

arn´ıho ˇreˇsen´ı, tj.:

yp = C ·

1

x

−

cos x

3x

,

kde C je libovoln´

a konstanta.

42

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

Pˇ

r´ıklad 15. Najdˇ

ete ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

 y0 + 2xy = x,

y(0) = −3.

(3.22)

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Sch´

ema ˇreˇsen´ı t´

eto ´

ulohy je n´

asleduj´ıc´ı: napˇred najdeme obecn´

e ˇreˇsen´ı

asociovan´

e homogenn´ı rovnice

y

0 + 2xy = 0,

(3.23)

pot´

e obecn´

e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice

y

0 + 2xy = x

(3.24)

a nakonec v obecn´

em ˇreˇsen´ı rovnice (3.24) vybereme hodnotu libovoln´

e konstanty

tak, aby byla splnˇ

ena poˇ

c´

ateˇ

cn´ı podm´ınka

y(0) = −3.

(3.25)

a) Krok I. Obecn´

e ˇreˇsen´ı asociovan´

e homogenn´ı rovnice. Rozdˇ

elme v rovnici (3.23)

promˇ

enn´

e. Dˇ

elen´ım na y (za pˇredpokladu, ˇ

ze y 6= 0) dost´

av´

ame

dy

y

= −2xdx,

odkud

Z

dy

y

= −2

Z

xdx .

Po integraci dostaneme

ln |y| = −x

2 + C

1,

kde C1 je libovoln´

a konstanta. Z posledn´ıho v´

yrazu (po odlogaritmov´

an´ı)

|y| = e

−x2+C1

nebo

y = ±e

−x2 · eC1.

Dva v´

yrazy: ±eC1, kde C1 je libovoln´

a konstanta sjednot´ıme podobnˇ

e jako pˇri ˇreˇsen´ı

Pˇr´ıkladu 11 do jednoho jako libovolnou konstantu C, kter´

a nab´

yv´

a vˇsech hodnot

kromˇ

e hodnoty C = 0. Potom

y = Ce

−x2 .

(3.26)

Hodnota y = 0 je tak´

e ˇreˇsen´ım. Proto m˚

uˇ

zeme rozˇs´ıˇrit mnoˇ

zinu hodnot libovoln´

e

konstanty C ve v´

yrazu (3.26) i o hodnotu C = 0 a vzorec (3.26) je obecn´

ym ˇreˇsen´ım

homogenn´ı rovnice (3.23).

3.2. LINE ´

ARN´

I ROVNICE

43

b) Krok II. Obecn´

e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Partikul´