M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
e. V n´
asleduj´ıc´ı
vˇ
etˇ
e uv´
ad´ıme pˇr´ısluˇsn´
e podm´ınky exaktnosti.
Vˇ
eta 1 (Kriterium exaktnosti) Pˇ
redpokl´
adejme, ˇ
ze funkce dvou promˇ
enn´
ych M (x, y)
a N (x, y) jsou spojit´
e a maj´ı spojit´
e parci´
aln´ı derivace prvn´ıho ˇ
r´
adu v nˇ
ekter´
e obd´
eln´ıkov´
e
oblasti tvaru
{(x, y) ∈ R × R, a < x < b, c < y < d},
kde a, b, c a d jsou konstanty. Pak je v´
yraz
M (x, y) · dx + N (x, y) · dy
(3.33)
tot´
aln´ım diferenci´
alem nˇ
ekter´
e funkce tehdy a jen tehdy, kdy v uveden´
e oblasti plat´ı
∂M (x, y)
∂y
≡
∂N (x, y)
∂x
.
(3.34)
D˚
ukaz. Nebudeme nyn´ı cel´
y d˚
ukaz prov´
adˇ
et. Uk´
aˇ
zeme jen, ˇ
ze z platnosti vz-
tahu (3.33) plyne vztah (3.34). Tato ˇ
c´
ast m´
a v´
ypoˇ
cetn´ı charakter a bude uˇ
ziteˇ
cn´
ym
vyuˇ
zit´ım vaˇsich pˇredchoz´ıch znalost´ı z matematiky o parci´
aln´ıch derivac´ıch. Pro
zjednoduˇsen´ı pˇredpokl´
adejme, ˇ
ze funkce M (x, y) a N (x, y) maj´ı spojit´
e parci´
aln´ı
derivace prvn´ıho ˇr´
adu ve vˇsech bodech roviny. Je-li v´
yraz M (x, y) · dx + N (x, y) · dy
tot´
aln´ım diferenci´
alem, pak existuje funkce f (x, y) takov´
a, ˇ
ze
df (x, y) =
∂f (x, y)
∂x
· dx +
∂f (x, y)
∂y
· dy ≡ M (x, y) · dx + N (x, y) · dy.
Porovn´
an´ım zjiˇst’ujeme, ˇ
ze mus´ı platit
M (x, y) ≡
∂f (x, y)
∂x
,
(3.35)
N (x, y) ≡
∂f (x, y)
∂y
.
(3.36)
46
KAPITOLA 3. DIFERENCI ´
ALN´
I ROVNICE PRVN´
IHO ˇ
R ´
ADU
Derivov´
an´ım vztah˚
u (3.35), (3.36) dostaneme
∂M (x, y)
∂y
≡
∂
∂y
∂f (x, y)
∂x
≡
∂2f (x, y)
∂y∂x
a
∂N (x, y)
∂x
≡
∂
∂x
∂f (x, y)
∂y
≡
∂2f (x, y)
∂x∂y
.
Protoˇ
ze jsou parci´
aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´
adu M (x, y) a N (x, y) spojit´
e bude pro