M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ze vezmeme ˇreˇsen´ı
pˇredchoz´ı ´
ulohy (3.17) vyj´
adˇren´
e dan´
e tvarem (3.18) a partikul´
arn´ıˇreˇsen´ı, vyhovuj´ıc´ı
nehomogenn´ı rovnici (3.13), hledejme ve tvaru
yp = C(x) · exp
Z x
x0
a(s)ds
,
(3.20)
kde C(x) je funkce vyhovuj´ıc´ı poˇ
zadavku C(x0) = 0. Pak je souˇcet v´
yraz˚
u (3.18)
a (3.20) ˇreˇsen´ım poˇ
c´
ateˇ
cn´ı ´
ulohy (3.19). Po dosazen´ım pˇredpokl´
adan´
eho tvaru (3.20)
do nehomogenn´ı rovnice (3.13) m´
ame
C
0(x) · exp
Z x
x0
a(s)ds
+ C(x)a(x) · exp
Z x
x0
a(s)ds
= a(x)C(x) · exp
Z x
x0
a(s)ds
+ b(x),
odkud dost´
av´
ame
C
0(x) = b(x) · exp
−
Z
x
x0
a(s)ds
.
Integrac´ı posledn´ı rovnosti v mez´ıch x0 a x dostaneme
C(x) =
Z
x
x0
b(q) · exp
−
Z
q
x0
a(s)ds
dq.
Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı (3.20) je
yp(x) = exp
Z x
x0
a(s)ds
·
Z
x
x0
b(q) · exp
−
Z
q
x0
a(s)ds
dq.
ˇ
Reˇsen´ı poˇ
c´
ateˇ
cn´ı ´
ulohy (3.19) je d´
ano vzorcem
y(x) = y0 · exp
Z x
x0
a(s)ds
+ exp
Z x
x0
a(s)ds
·
Z
x
x0
b(q) · exp
−
Z
q
x0
a(s)ds
dq.
Po ´
upravˇ
e druh´
eho sˇ
c´ıtance m˚
uˇ
zeme ˇreˇsen´ı pˇrepsat takto:
y(x) = y0 · exp
Z x
x0
a(s)ds
+
Z
x
x0
b(q) · exp
Z x
q
a(s)ds
dq.
3.2. LINE ´
ARN´
I ROVNICE
41
Pˇ
r´ıklady
Pˇ
r´ıklad 14. ˇ
Reˇste rovnici
y
0 +
y
x
=
sin x
3x
,
(3.21)
ve kter´
e pˇredpokl´
ad´
ame x 6= 0.
ˇ
Reˇ
sen´ı.
a) Krok I. V souladu s pˇredchoz´ım postupem najdeme napˇred vˇsechna ˇreˇsen´ı aso-
ciovan´
e homogenn´ı rovnice
y
0 +
y
x
= 0.
Rozdˇ
elen´ım promˇ
enn´
ych dost´
av´
ame
dy
y
= −
dx
x
,
a po integraci
ln |y| = − ln |x| + ln |C|.
Obecn´
e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice je d´
ano vztahem
y =
C
x
s libovolnou konstantou C.
b) Krok II. Partikul´
arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice najdeme ve tvaru
yp = C(x) ·
1
x
,
kde C(x) je vhodn´
a funkce. Po jej´ım dosazen´ı do rovnice (3.21) m´
ame
C
0(x) ·
1
x
− C(x) ·
1
x2
+ C(x) ·
1
x2
=
sin x
3x
a po jednoduch´
e ´
upravˇ
e
C
0(x) =