M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

funkci f (x, y) platit zn´

am´

y poznatek o rovnosti sm´ıˇsen´

ych derivac´ı:

∂2f (x, y)

∂y∂x

≡

∂N (x, y)

∂x

.

Jeho d˚

usledkem je identita

∂M (x, y)

∂y

≡

∂N (x, y)

∂x

,

kterou jsme chtˇ

eli dok´

azat.

Opaˇ

cnou ˇ

c´

ast d˚

ukazu, tj. ˇ

ze z platnosti vztahu (3.34) plyne vztah (3.33) neprov´

ad´ıme.

D˚

ukaz t´

eto ˇ

c´

asti je prakticky n´

avodem k ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice (nalezen´ı takov´

e

funkce f (x, y), jej´ımˇ

z tot´

aln´ım diferenci´

alem je v´

yraz (3.33)), kter´

y vysvˇ

etl´ıme v n´

a-

sleduj´ıc´ı ˇ

c´

asti.

2

Exaktn´ı rovnice – postup ˇ

reˇ

sen´ı

V n´

asleduj´ıc´ım v´

ypoˇ

cetn´ım postupu nebudeme (kv˚

uli zjednoduˇsen´ı) vymezovat defi-

niˇ

cn´ı obory pouˇ

zit´

ych funkc´ı a tak´

e budeme pˇredpokl´

adat, ˇ

ze pouˇ

zit´

e ´

ukony jsou

pˇr´ıpustn´

e. Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze je d´

ana exaktn´ı rovnice

M (x, y) · dx + N (x, y) · dy = 0.

(3.37)

Pˇripomeˇ

nme, ˇ

ze podle kriteria exaktnosti (viz pˇredchoz´ı Vˇ

etu 1) mus´ı platit identita

∂M (x, y)

∂y

≡

∂N (x, y)

∂x

.

Naˇs´ım c´ılem je naj´ıt funkci f (x, y) takovou, aby platilo

df (x, y) =

∂f (x, y)

∂x

· dx +

∂f (x, y)

∂y

· dy ≡ M (x, y) · dx + N (x, y) · dy.

K nalezen´ı funkce f pouˇ

zijeme nejprve vztah (3.35), tj.

∂f (x, y)

∂x

= M (x, y)

3.3. EXAKTN´

I ROVNICE

47

a budeme ji hledat pomoc´ı operace integrov´

an´ı funkce M (x, y) podle promˇ

enn´

e x.

Pˇritom promˇ

ennou y povaˇ

zujeme za konstantu. Dost´

av´

ame

f (x, y) =

Z

M (x, y) dx + g(y),

(3.38)

kde g(y) je libovoln´

a funkce promˇ

enn´

e y hraj´ıc´ı roli integraˇ

cn´ı ,,konstanty“. Dalˇs´ım

krokem je derivov´

an´ı pr´

avˇ

e z´ıskan´

eho vztahu (3.38) podle promˇ

enn´

e y a vyuˇ

zit´ı

druh´

eho vztahu (3.36), tj. vztahu ∂f /∂y = N (x, y):