M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı

rovnice hled´

ame ve tvaru

yp = C(x)e

−x2 .

Po dosazen´ı do rovnice (3.24) m´

ame

C

0(x)e−x

2

+ C(x)e

−x2 (−2x) + 2xC(x)e−x

2

= x

odkud, po jednoduˇsen´ı,

C

0(x) = xex

2

.

Po integraci dostaneme

C(x) =

1

2

e

x2 + K

Poloˇ

zme K = 0. Partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (3.24) je

yp =

1

2

e

x2 e−x

2

=

1

2

a jej´ı obecn´

e ˇreˇsen´ı je

y = Ce

−x2 +

1

2

,

(3.27)

kde C je libovoln´

a konstanta.

c) Krok III. ˇ

Reˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy. Nyn´ı zvol´ıme konstantu C v obecn´

em ˇreˇsen´ı (3.27)

tak, aby byla splnˇ

ena poˇ

c´

ateˇ

cn´ı podm´ınka (3.25). Dostaneme

y(0) = −3 = C +

1

2

a

C = −

7

2

.

ˇ

Reˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (3.22) tedy je

y =

1

2

−

7

2

e

−x2 .

Cviˇ

cen´ı. Urˇ

cete obecn´

e ˇreˇsen´ı dan´

ych exaktn´ıch rovnic:

a)

y0 − 2xy = 6x,

h

y = Cex

2 − 3

i

;

b)

y0 sin x − y cos x = 1,

h

y = C sin x − cos x

i

;

c)

y0 + y = sin x,

h

y = ce−x +

1
2 (sin x − cos x)

i

;

d)

(1 + x2) y0 = y + arctan x,

h

y = Cearctan x − arctan x − 1

i

.

44

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

3.3

Exaktn´ı rovnice

K ˇ

reˇ

sen´ı rovnic mohou v´

est r˚

uzn´

e cesty

Uvaˇ

zujme jednoduchou rovnici s diferenci´

aly dy a dx tvaru

y · dx + x · dy = 0.

(3.28)

Tuto rovnici um´ıme vyˇreˇsit, protoˇ

ze je separovan´

a. Skuteˇ

cnˇ

e, jednoduchou ´

upravou

dost´

av´

ame (pˇredpokl´

ad´

ame, ˇ

ze souˇ

cin xy 6= 0)

dy

y

= −

dx

x

.

Budeme ale postupovat jinou cestou. Vˇsimnˇ

eme si, ˇ

ze levou stranu rovnice (3.28)

m˚

uˇ

zeme zapsat jako diferenci´

al souˇ

cinu promˇ

enn´

ych x a y (obˇ

e promˇ

enn´

e v tuto

chv´ıli povaˇ

zujeme za rovnopr´

avn´

e a navz´

ajem na sobˇ

e nez´

avisl´

e), tedy jako

y · dx + x · dy = d(xy)

a rovnici (3.28) m˚