M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

f)

dx + y dy = 0,

y(1) = 1

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a)

y = x

d)

y = arcsin(2 sin x)

b)

y = ln

(x + 1)2

4x2

+

1

x

+

1

2

e)

y ln y = tan x −

π

4

c)

y = arcsin x

f)

y2 = 3 − 2x

3.2

Line´

arn´ı rovnice

Rovnice, kter´

a m´

a tvar

y

0 = a(x)y + b(x)

(3.13)

je line´

arn´ı diferenci´

aln´ı rovnic´ı prvn´ıho ˇr´

adu. Hledan´

a funkce je znaˇ

cena jako y a

jej´ı derivace jako y0. Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze funkce a a b jsou spojit´

e na intervalu I.

V t´

eto ˇ

c´

asti se nauˇ

c´ıme nal´

ezat obecn´

e ˇreˇsen´ı line´

arn´ı rovnice (3.13) a pop´ıˇseme

postup tohoto nalezen´ı. ˇ

Reˇsen´ı line´

arn´ı rovnice (3.13) maj´ı oproti ˇreˇsen´ım rovnic

neline´

arn´ıch velmi d˚

uleˇ

zitou v´

yhodu. Kaˇ

zd´

e ˇreˇsen´ı line´

arn´ı rovnice je definovan´

e na

cel´

em intervalu I. Tento fakt plyne, napˇr´ıklad, ze tvaru ˇreˇsen´ı, kter´

e bude odvozeno.

3.2. LINE ´

ARN´

I ROVNICE

37

Homogenn´ı a nehomogenn´ı line´

arn´ı rovnice

Rovnici (3.13) naz´

yv´

ame homogenn´ı line´

arn´ı rovnic´ı, je-li b(x) ≡ 0 na intervalu I.

V opaˇ

cn´

em pˇr´ıpadˇ

e naz´

yv´

ame rovnici (3.13) nehomogenn´ı line´

arn´ı rovnic´ı na in-

tervalu I. Odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı rovnici ˇ

casto naz´

yv´

ame pˇridruˇ

zenou homogenn´ı

rovnic´ı. Rovnice (3.13) je speci´

aln´ım pˇr´ıpadem line´

arn´ıho rovnice n-t´

eho ˇr´

adu (1.2).

Jak ˇ

reˇ

s´ıme line´

arn´ı rovnici?

ˇ

Reˇsen´ı line´

arn´ı diferenci´

aln´ı rovnice (3.13) je ˇ

casto ˇ

clenˇ

eno na dva kroky. Tak budeme

postupovat i my. V prvn´ım kroku je nalezeno obecn´

e ˇreˇsen´ı pˇridruˇ

zen´

e homogenn´ı

rovnice a ve druh´

em kroku je metodou variace konstanty nalezeno obecn´

e ˇreˇsen´ı

rovnice nehomogenn´ı.

Krok I: Obecn´

e ˇ

reˇ

sen´ı homogenn´ı line´

arn´ı rovnice

Budeme se zab´

yvat homogenn´ı line´

arn´ı rovnici pˇridruˇ

zenou k rovnici (3.13), tj.