M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

zinou

vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice (3.7) jsou funkce

y = C(1 + x)

2, C ∈ R ∧ x = 1.

Pˇ

r´ıklad 12. Najdˇ

ete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice

xe

−y sin x dx − 2y dy = 0.

(3.9)

ˇ

Reˇ

sen´ı. Po vyn´

asoben´ı rovnice v´

yrazem ey dost´

av´

ame

x sin x dx = 2ye

y dy

a

Z

x sin x dx = 2

Z

ye

y dy.

Integrace po ˇ

c´

astech vede k implicitn´ımu vztahu

− x cos x + sin x = 2ye

y − 2ey + C,

(3.10)

kde C je libovoln´

a konstanta. Vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice (3.9) jsou d´

ana implicitn´ım

vzorcem (3.10).

Pˇ

r´ıklad 13. Najdˇ

ete ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

( y0 = 2xy2

y(0) = 1.

(3.11)

ˇ

Reˇ

sen´ı. Rozdˇ

elme v rovnici

y

0 = 2xy2

promˇ

enn´

e. Dˇ

elen´ım na y2 (za pˇredpokladu, ˇ

ze y 6= 0) dost´

av´

ame

dy

y2

= 2xdx,

odkud

Z

dy

y2

= 2

Z

xdx .

Po integraci dostaneme

−

1

y

= x

2 + C,

kde C je libovoln´

a konstanta. Z posledn´ıho v´

yrazu z´ısk´

av´

ame

y = −

1

x2 + C

.

(3.12)

36

KAPITOLA 3. DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

Nyn´ı najdeme ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (3.11). Ze vztahu (3.12), po dosazen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı

podm´ınky y(0) = 1 dost´

av´

ame C = −1. Proto je funkce

y = −

1

x2 − 1

=

1

1 − x2

ˇreˇsen´ım poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (3.11).

´

Ukol pro v´

as:

Urˇ

cete samostatnˇ

e definiˇ

cn´ı obor, na kter´

em je ˇreˇsen´ı urˇ

ceno. Je t´ımto oborem

mnoˇ

zina vˇsech ˇ

c´ısel R? Je v´aˇs z´avˇer v souladu s Picardovou vˇetou 2?

Cviˇ

cen´ı:

Najdˇ

ete ˇreˇsen´ı dan´

y poˇ

c´

ateˇ

cn´ıch ´

uloh pro dan´

e rovnice s promˇ

enn´

ymi

separovan´

ymi

a)

y0 = 3x−y,

y(0) = 0

d)

cos x sin y dx − cos y sin x dy =
0,

y(π/2) = π/6

b)

y

0 =

x + 1

x3 − x2

,

y(2) = 0

e)

y

0 ln y −

1

cos2 x

= 0,

y(π/4) = 1

c)

dx −

√

1 − x2 dy = 0,

y(0) = 0