M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a, ˇ

ze limx→x∗−0 |y(x)| = ∞ anebo

je ˇreˇsen´ı prodlouˇ

ziteln´

e pro vˇsechny hodnoty x > x0. Podobnˇe m˚

uˇ

zeme rozebrat

situaci vlevo od bodu x0. Jin´

a je situace ve speci´

aln´ım pˇr´ıpadˇ

e, kdy jsou uvaˇ

zovan´

e

rovnice line´

arn´ı. Pak je kaˇ

zd´

e ˇreˇsen´ı prodlouˇ

ziteln´

e na cel´

y interval I. O tom se ale

jeˇstˇ

e vˇ

cas na pˇr´ısluˇsn´

em m´ıstˇ

e zm´ın´ıme.

Pˇ

r´ıklad 10. Ilustrujme moˇ

znost prvn´ıho pˇr´ıpadu uveden´

e alternativy na poˇ

c´

ateˇ

cn´ı

´

uloze

( y0 = 1 + y2,

y(0) = 0.

(2.24)

V tomto pˇr´ıkladu je funkce f (x, y) = 1 + y2. Tato funkce je spojit´

a nejenom na

nˇ

ekter´

em uzavˇren´

em okol´ı D bodu (0, 0), ale v cel´

e rovinˇ

e xOy. Parci´

aln´ı derivace

f 0

y (x, y) funkce f (x, y), tj. funkce f

0

y (x, y) = 2y je na kaˇ

zd´

em uzavˇren´

em okol´ı D bodu

(0, 0) ohraniˇ

cen´

a (samostatnˇ

e zd˚

uvodnˇ

ete proˇ

c). Plat´ı tedy Picardova vˇ

eta 2. Nelze

vˇsak uˇ

cinit z´

avˇ

er, ˇ

ze ˇreˇsen´ı y = y(x) poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.24) bude definovan´

e na cel´

e

re´

aln´

e ose. Skuteˇ

cnˇ

e, je snadn´

e provˇ

eˇrit, ˇ

ze poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloze (2.24) vyhovuje funkce

y = tg x (proved’te provˇ

eˇren´ı samostatnˇ

e). Toto ˇreˇsen´ı je vzhledem k definiˇ

cn´ımu

oboru funkce tg x a vzhledem k tomu, ˇ

ze jako ˇreˇsen´ı uvaˇ

zujeme pouze ta ˇreˇsen´ı,

kter´

a jsou spojit´

a (viz Definici 5 na stranˇ

e 6), definov´

ano pouze na intervalu

−π/2 < x < π/2 .

Proto

lim

x → (π/2) − 0

y(x) =

lim

x → (π/2) − 0

tg x = +∞

a prvn´ı pˇr´ıpad uveden´

e alternativy plat´ı.

30

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

Kapitola 3

Diferenci´

aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ

r´

adu

- separovan´

a, line´

arn´ı, exaktn´ı