M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

ame

f (x, y

∗) − f(x, y∗∗) = f0

y (x, θ)(y

∗ − y∗∗),

kde θ je nˇ

ekter´

y bod, leˇ

z´ıc´ı mezi body y∗ a y∗∗. Pak pro absolutn´ı hodnoty plat´ı

|f (x, y

∗) − f(x, y∗∗)| = |f0

y (x, ˜

y)| · |y

∗ − y∗∗| ≤ L · |y∗ − y∗∗|,

tj., Lipschitzova podm´ınka je splnˇ

ena.

Picardova vˇ

eta o jednoznaˇ

cnosti

N´

asleduj´ıc´ı vˇ

etu naz´

yv´

ame Picardovou. Tato vˇ

eta uv´

ad´ı podm´ınky existence pr´

avˇ

e

jednoho ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1).

Vˇ

eta 2 (Picardova) Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze prav´

a strana rovnice (2.2) je spojit´

a na

oblasti D vzhledem k obˇ

ema argument˚

um x a y a vyhovuje zde Lipschitzovˇ

e podm´ınce

(2.11). Pak m´

a poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha (2.1) pr´

avˇ

e jedno ˇ

reˇ

sen´ı y = y(x), kter´

e je definov´

ano

na intervalu |x − x0| ≤ h. Graf tohoto ˇreˇsen´ı leˇz´ı na uveden´em intervalu v oblasti
D.

24

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

Picardovy postupn´

e aproximace

D˚

ukaz Picardovy vˇ

ety nebudeme prov´

adˇ

et. Uvedeme jenom myˇslenku d˚

ukazu, kter´

y

je v tomto pˇr´ıpadˇ

e zaloˇ

zen na konstrukci nekoneˇ

cn´

e posloupnosti funkc´ı

y0(x), y1(x), y2(x), . . . , yn(x),

(2.12)

konverguj´ıc´ı (tzv. stejnomˇ

ernˇ

e) ke hledan´

emu ˇreˇsen´ı. O t´

eto posloupnosti se zmiˇ

nuje-

me proto, ˇ

ze s jej´ı pomoc´ı m˚

uˇ

zeme v nˇ

ekter´

ych pˇr´ıpadech naj´ıc pˇribliˇ

zn´

e ˇreˇsen´ı

poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1). Uk´

aˇ

zeme, jak se tato posloupnost vytv´

aˇr´ı. Pˇredpokl´

adejme,

ˇ

ze hledan´

e ˇreˇsen´ı y = y(x) poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1) je jiˇ

z na intervalu |x − x0| ≤ h

nalezeno. Jeho dosazen´ı do rovnice (2.2) vede na intervalu |x − x0| ≤ h k identitˇe

y

0(x) ≡ f(x, y(x)).

(2.13)

Proved’me jej´ı integrace v mez´ıch x0 a x (pˇritom bereme do ´