M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

∗∗

n ) ∈ D

(2.19)

existuje konstanta L (tzv. Lipschitzova konstanta) tak, ˇ

ze plat´ı

|f (x, y

∗

1 , y

∗

2 , . . . , y

∗

n) − f (t, y

∗∗

1 , y

∗∗

2 , . . . , y

∗∗

n )| ≤ L

n

X

l=1

|y

∗

l − y

∗∗

l |.

(2.20)

Vˇ

eta 3 (Picardova) Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze prav´

a strana rovnice (2.4) je spojit´

a na

oblasti D vzhledem ke vˇ

sem sv´

ym argument˚

um a vyhovuje zde Lipschitzovˇ

e podm´ınce

(2.20). Pak m´

a poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha (2.5) jedin´

e ˇ

reˇ

sen´ı y = y(x), kter´

e je definov´

ano na

intervalu |x − x0| ≤ h, kde

h := min

a,

b

c

(2.21)

a pro ˇ

c´ıslo plat´ı

c =

max

(y2,y3,...,yn)∈D

{M, |y2|, |y3|, . . . , |yn|}.

(2.22)

Podobnˇ

e jako u syst´

em˚

u diferenci´

aln´ıch rovnic lze Lipschitzovu podm´ınku nahradit

silnˇ

ejˇs´ım poˇ

zadavkem ohraniˇ

cenosti parci´

aln´ıch derivac´ı funkce f :

Lemma 2. M´

a-li spojit´

a funkce f (x, y1, y2, . . . , yn) : D → R ohraniˇcen´e parci´aln´ı

derivace na oblasti D vzhledem k promˇ

enn´

ym y1, y2, . . . , yn, tj., existuje-li konstanta

K takov´

a, ˇ

ze pro libovoln´

y bod (x, y1, y2, . . . , yn) ∈ D a libovoln´

y index i ∈ {1, 2, . . . , n}

plat´ı

∂f (x, y1, y2, . . . , yn)

∂yi

≤ K,

(2.23)

pak funkce f (x, y1, y2, . . . , yn) vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce (11) s
Lipschitzovou konstantou L := K.

2.7

Lok´

aln´ı charakter existenˇ

cn´ıch vˇ

et

V pˇredch´

azej´ıc´ım textu jsme uvedli nˇ

ekolik vˇ

et o existenci a jednoznaˇ

cnosti ˇreˇsen´ı

poˇ

c´

ateˇ

cn´ıch ´

uloh. Byla to Peanova vˇ

eta 1 o existenci poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1), Pi-

cardova vˇ

eta 2 o jednoznaˇ

cnosti ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1) a Picardova vˇ

eta 3,

2.7. LOK ´