M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

zadovan´

e aproximace.

Pokraˇ

cujme v prov´

adˇ

en´

ych ´

uvah´

ach jeˇstˇ

e d´

ale. Vˇ

etˇsinou je pˇr´ım´

y v´

ypoˇ

cet Picar-

dov´

ych aproximac´ı nerealizovateln´

y z toho d˚

uvodu, ˇ

ze integ´

aly, kter´

ymi jsou aprox-

imace definovan´

e jsou pˇr´ıliˇs komplikovan´

e. Pr´

avˇ

e ˇreˇsen´

y pˇr´ıklad vˇsak do t´

eto kate-

gorie nepatˇr´ı a m˚

uˇ

zeme ve v´

ypoˇ

ctech pokraˇ

covat d´

ale. Podobn´

ym postupem bychom

se pˇresvˇ

edˇ

cili, ˇ

ze pro n-tou Picardovu aproximaci plat´ı:

yn(x) := y0 +

Z

x

x0

f (s, yn−1(s))ds = 3 + x +

x2

2

+

x3

3!

+ · · · +

xn

n!

= 2 +

n

X

i=0

xi

i!

.

26

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

Nav´ıc m˚

uˇ

zeme naj´ıt

y(x) = lim

n→∞

yn(x) = 2 +

∞

X

i=0

xi

i!

= 2 + e

x.

Pro n´

as v´

ysledn´

a funkce nebude ˇ

z´

adn´

ym pˇrevapen´ım. Snadno m˚

uˇ

zeme ovˇ

eˇrit, ˇ

ze

ˇreˇsen´ım poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.18) je opravdu funkce y = 2 + ex. Grafy funkc´ı funkc´ı

y(x) a yi(x) pro i = 0, 1, 2, 3 jsou pro vz´

ajemn´

e srovn´

an´ı zn´

azornˇ

eny na obr´

azku 2.5

Obr´

azek 2.5: Picardovy postupn´

e aproximace pro ´

ulohu y0 = y − 2, y(0) = 3.

Pˇ

r´ıklad 9. Vrat’te se k poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloze (2.8), tj., k ´

uloze

( y0 = x ·

p|y|,

y(0) = 0.

Jsou splnˇ

eny podm´ınky Picardovy vˇ

ety 2 v okol´ı bodu (0, 0)?

2.6. EXISTENCE A JEDNOZNA ˇ

CNOST ˇ

REˇ

SEN´

I ´

ULOHY (??)

27

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Vzhledem k z´

avˇ

er˚

um Pˇr´ıkladu 7 nemohou b´

yt splnˇ

eny v okol´ı bodu

(0, 0) podm´ınky Picardovy vˇ

ety 2. Protoˇ

ze existuj´ı alespoˇ

n dvˇ

e ˇreˇsen´ı, nem˚

uˇ

ze

platit pro funkci f (x, y) := x ·

p|y| Lipschitzova podm´ınka. Nebudeme tento

fakt dokazovat, uk´

aˇ

zeme pouze, ˇ

ze parci´

aln´ı derivace f 0

y (x, y) nen´

ı v ˇ

z´

adn´

em okol´ı

bodu (0, 0) spojit´

a. Mus´ıme si uvˇ