M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
uvahy, ˇ
ze y(x0) = y0):
y(x) ≡ y0 +
Z
x
x0
f (s, y(s))ds.
(2.14)
Tato identita je motivac´ı pro sestaven´ı tzv. integr´
aln´ı rovnice
y = y0 +
Z
x
x0
f (s, y)ds
(2.15)
a pro jej´ı vyuˇ
zit´ı ke konstrukci posloupnosti postupn´
ych aproximac´ı (2.12). V´
ychoz´ı
(nebo nulovou) aproximaci y0(x) definujeme takto:
y0(x) := y0.
Prvn´ı aproximaci y1(x) definujeme jako hodnotu prav´e strany v´
yrazu nach´
azej´ıc´ıho
se v rovnici (2.15), ve kter´
em m´ısto y dosad´ıme nulovou aproximaci y0(x), tj.
y1(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y0(s))ds.
(2.16)
Podobnˇ
e definujeme druhou aproximaci y2(x) pˇredpisem
y2(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y1(s))ds.
Obecnˇ
e definujeme n-tou Picardovu postupnou aproximaci yn(x) pro n = 1, 2, . . .
pˇredpisem
yn(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, yn−1(s))ds.
(2.17)
2.5. EXISTENCE A JEDNOZNA ˇ
CNOST ˇ
REˇ
SEN´
I PO ˇ
C ´
ATE ˇ
CN´
I ´
ULOHY
25
Pˇ
r´ıklad 8. Naleznˇ
ete Picardovy aproximace y0(x), y1(x), y2(x), y3(x) a y4(x) odpov´ı-
daj´ıc´ı poˇ
c´
ateˇ
cn´ı ´
uloze
( y0 = y − 2
y(0) = 3.
(2.18)
ˇ
Reˇ
sen´ı.
V souladu se zaveden´
ym znaˇ
cen´ım poloˇ
z´ıme x0 = 0, y0 = 3,
f (x, y) = y − 2 a f (s, yn−1(s)) = yn−1(s) − 2, kde n = 1, 2, . . . . Potom pro
v´
ychoz´ı aproximaci m´
ame
y0(x) := y0 = 3,
pro prvn´ı aproximaci (podle (2.16)) dost´
av´
ame
y1(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y0(s))ds = 3 +
Z
x
0
(3 − 2)ds = 3 + x.
Druh´
a aproximace je
y2(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y1(s))ds = 3 +
Z
x
0
(1 + s)ds = 3 + x +
x2
2
.
Pro tˇret´ı aproximace dost´
av´
ame
y3(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y2(s))ds = 3 +
Z
x
0
1 + s +
s2
2
ds = 3 + x +
x2
2
+
x3
3!
a pro ˇ
ctvrtou
y4(x) := y0 +
Z
x
x0
f (s, y3(s))ds = 3 +
Z
x
0
1 + s +
s2
2
+
s3
3!
ds
= 3 + x +
x2
2
+
x3
3!
+
x4
4!
.
T´ım jsme nalezli poˇ