M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

an, pak je

algoritmus Eulerovy metody, vedouc´ı ke konstrukci Eulerova polygonu, spojuj´ıc´ıho
body

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn),

urˇ

cen vzorcem

yi+1 = yi + hf (xi, yi), i = 0, 1, . . . , n − 1.

Snadno lze odvodit vzorec pro pˇresnost t´

eto metody a r˚

uzn´

e vylepˇsuj´ıc´ı varianty

uveden´

eho algoritmu. Opust’me vˇsak tuto problematiku a pˇrenechme ji numerick´

ym

matematik˚

um.

Lipschitzova podm´ınka

Pˇredpokladem, kter´

y zaruˇ

c´ı jednoznaˇ

cnost v Peanovˇ

e vˇ

etˇ

e je, napˇr´ıklad, tzv. Lips-

chitzova podm´ınka.

2.5. EXISTENCE A JEDNOZNA ˇ

CNOST ˇ

REˇ

SEN´

I PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY

23

Definice 10 (Lipschitzova podm´ınka) Funkce f (x, y) vyhovuje na oblasti
D Lipschitzovˇ

e podm´ınce vzhledem k promˇ

enn´

e y, jestliˇ

ze existuje konstanta

L (tzv. Lipschitzova konstanta) takov´

a, ˇ

ze pro libovoln´

e dva body

(x, y

∗) ∈ D, (x, y∗∗) ∈ D

(2.10)

plat´ı

|f (t, y

∗) − f(t, y∗∗)| ≤ L · |y∗ − y∗∗|.

(2.11)

Provˇ

erka toho, ˇ

ze dan´

a funkce vyhovuje v nˇ

ekter´

e oblasti Lipschitzovˇ

e podm´ınce

neb´

yv´

a jednoduch´

a. Lze ji vˇsak nahradit jinou podm´ınkou, kterou lze snadno ovˇ

eˇrit.

Lemma 1. Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze f ∈ C(D). Jestliˇ

ze v oblasti D existuje spojit´

a

parci´

aln´ı derivace f 0

y (x, y), pak zde funkce f vyhovuje Lipschitzovˇ

e podm´ınce a m˚

uˇ

zeme

poloˇ

zit

L := max

(x,y)∈D

|f

0

y (t, y)|.

D˚

ukaz. Nebudeme ho prov´

adˇ

et, uved’me jen hlavn´ı myˇslenky. Existence uveden´

eho

maxima vypl´

yv´

a ze spojitosti parci´

aln´ı derivace v oblasti D. Pro kaˇ

zd´

e dva body

(t, y∗) ∈ D, (t, y∗∗) ∈ D (na z´

aklade Lagrangeovy vˇ

ety - pˇripomeˇ

nte si jej´ı znˇ

en´ı a

ovˇ

eˇrte, ˇ

ze n´

asleduj´ıc´ı vztah ve kter´

em x bereme jako konstantu plat´ı) m´