M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a cel´

e mnoˇ

zina

ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice (2.2). Nicm´

enˇ

e vytvoˇren´ı smˇ

erov´

eho pole podle pˇresnˇ

e

podle definice je ner´

aln´

e, nebot’ zkonstruovat odpov´ıdaj´ıc´ı v´

azan´

y vektor v kaˇ

zd´

em

bodˇ

e je prakticky nerealizovateln´

e. Proto uk´

aˇ

zeme metodu pomoc´ı kter´

e lze z´ıskat

o vektorov´

em poli dostateˇ

cnˇ

e dobrou pˇredstavu.

Vytvoˇ

ren´ı smˇ

erov´

eho pole pomoc´ı izokl´ın

Aby byl do procesu vytvoˇren´ı smˇ

erov´

eho pole vnesen urˇ

cit´

y postup, je rozumn´

e ho

vytv´

aˇret krok za krokem. ˇ

Casto se uˇ

z´ıv´

a tzv. metoda izokl´ın. Izokl´ına je kˇrivka o

rovnici

f (x, y) = k,

(2.3)

kde k je dan´

a konstanta. Jin´

ymi slovy - izokl´ına je kˇrivka (geometrick´

e m´ısto bod˚

u)

v kaˇ

zd´

em bodˇ

e kter´

e jsou v´

azan´

e vektory rovnobˇ

eˇ

zn´

e (tj., teˇ

cny k ˇreˇsen´ım maj´ı

stejnou smˇ

ernici). Princip metody izokl´ın je jednoduch´

y - pro vhodnˇ

e zvolenou

mnoˇ

zinu smˇ

ernic {k1, k2, . . . , ks} vytvoˇr´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı mnoˇzinu izokl´ın pomoc´ı

vztahu (2.3) ve kter´

em postupnˇ

e dosazujeme k = k1, k = k2, . . . , k = ks. Pokud

je s´ıt’ izoklin dostateˇ

cnˇ

e hust´

a, bude naˇse pˇredstava o integr´

aln´ıch kˇrivk´

ach difer-

enci´

aln´ı rovnice (2.2) postaˇ

cuj´ıc´ı. Zd˚

uraznˇ

eme, ˇ

ze se nejedn´

a o tzv. analytick´

e ˇreˇsen´ı

rovnice (2.2) (tj. z´ısk´

an´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru urˇ

cit´

e funkce), ale o z´ısk´

an´ı tzv. kvalitativn´ı

informace o pr˚

ubˇ

ehu jejich ˇreˇsen´ı. Smˇ

erov´

e pole a metoda izokl´ın jsou d˚

uleˇ

zit´

ymi

n´

astroji z´ısk´

an´ı kvalitativn´ıch informac´ı o pr˚

ubˇ

ehu ˇreˇsen´ı pr´

avˇ

e v pˇr´ıpadech, kdy

2.2. GEOMETRICK ´

A INTERPRETACE ROVNICE PRVN´

IHO ˇ

R ´

ADU

17

danou rovnici neum´ıme ˇreˇsit, nebo neum´ıme vypoˇ

c´ıtat integr´

aly vznikl´