M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

Definice 9 (Singul´

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı) Existuje-li ˇreˇsen´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu (1.8),

kter´

e nelze obdrˇ

zet z n-parametrick´

e mnoˇ

ziny ˇreˇsen´ı (1.16) nˇ

ekterou specifikac´ı

parametr˚

u

C1 = C

∗

1 , C2 = C

∗

2 , . . . , Cn = C

∗

n,

pak toto ˇreˇsen´ı naz´

yv´

ame singul´

arn´ım.

Pˇ

r´ıklad 5. V´ıte-li, ˇ

ze diferenci´

aln´ı rovnice

y

0 − y = 1

(1.21)

m´

a obecn´

e ˇreˇsen´ı d´

an´

e vzorcem

Ce

x − 1,

C ∈ R,

najdˇ

ete partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı y(x), kter´

e vyhovuje podm´ınce

y(ln 3) + 2 · y

0(ln 3) = 0.

(1.22)

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Budeme se snaˇ

zit specifikovat hodnotu konstanty C = C∗ tak, aby

funkce dan´

a pˇredpisem y(x) = C∗ex − 1 splˇ

novala podm´ınku 1.22. To konkr´

etnˇ

e

znamen´

a, ˇ

ze

y(ln 3) + 2 · y

0(ln 3) ≡ 3C∗ − 1 + 6C∗ = 0,

tj. C∗ = 1/9.

Hledan´

e partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı m´

a pak pˇredpis y(x) = 1/9 · ex − 1. Samostatnˇ

e

ovˇ

eˇrte, ˇ

ze takto nalezen´

a funkce je skuteˇ

cnˇ

e ˇreˇsen´ım rovnice 1.21.

´

Ukol pro v´

as:

V´ıte-li, ˇ

ze diferenci´

aln´ı rovnice y00 − y + 2004 = 0 m´

a obecn´

e ˇreˇsen´ı d´

an´

e vzorcem

C1e

x + C

2e

−x + 2004,

C1, C2 ∈ R,

najdˇ

ete partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı y(x) takov´

e, ˇ

ze:

a) y(0) = 0, y0(0) = 0; b) y(0) + y0(0) = 2002, y(ln 2) + 5 · y0(ln 2) = 2003;

c)

Z

ln 2

0

(y(x) − 2004) dx = 1,

Z

ln 2

0

y

0(x)dx = 0.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a) y(x) = −1002 ex − 1002 e−x + 2004;

b) y(x) = −ex − 11/2 e−x + 2004;

c) y(x) = 1/2 ex + e−x + 2004.

14

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

Shrnut´ı

• Rovnice obsahuj´ıc´ı derivace nebo diferenci´

aly jedn´

e z´

avisl´

e funkce (nebo v´ıce

z´

avisl´

ych funkc´ı) je naz´

yv´

ana diferenci´

aln´ı rovnic´ı. Rovnici naz´

yv´