M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

8

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Nejprve se pˇresvˇ

edˇ

c´ıme, ˇ

ze rovnice (1.10) opravdu definuje funkci

y = y(x) na intervalu I. Pˇrep´ıˇseme rovnici (1.10) ve tvaru

y = e

x2y ,

(1.12)

a pro libovolnˇ

e zvolenou hodnotu x = x∗ ∈ I = (−∞, ∞) naˇ

crtneme v rovinˇ

e

(y, F ) (prvn´ı osa je osou y, druh´

a osa je osou F ) grafy dvou funkc´ı, urˇ

cen´

ych

levou a pravou stranou vztahu (1.10), tj. naˇ

crtneme grafy funkc´ı

F = F1 := y

a

F = F2 := e

x∗y .

Grafem prvn´ı funkce je pˇr´ımka - osa prvn´ıho a tˇret´ıho kvadrantu. Grafem druh´

e

funkce je kladn´

a exponenci´

aln´ı funkce (pˇresnˇ

eji ˇreˇ

ceno, pro x∗ 6= 0 jde o rostouc´ı

exponenci´

alu a pro x∗ = 0 jde o graf pˇr´ımky). Oba dva grafy se prot´ınaj´ı pr´

avˇ

e v

jednom bodˇ

e, kter´

y je ˇreˇsen´ı rovnice (1.10) pro danou hodnotu x = x∗. Opravdu

je tedy vztahem (1.10) definov´

ana funkce y = y(x) na intervalu I.

Zb´

yv´

a provˇ

eˇrit, ˇ

ze vztah (1.10) je implicitn´ım ˇreˇsen´ım rovnice. Necht’ funkce

y = y(x) vyhovuje implicitn´ımu vztahu (1.10), tj. na I plat´ı

y(x) − e

x2y(x) ≡ 0.

Derivov´

an´ım dost´

av´

ame

y

0(x) − ex

2y(x)(2xy(x) + x2y0(x)) = 0

a po ´

upravˇ

e

y

0(x) ·

1 − x

2ex

2y(x)

− 2xy(x)e

x2y(x) = 0,

odkud, vyuˇ

zit´ım (1.12) m´

ame

y

0(x) · (1 − x2y(x)) = 2xy2(x).

T´ım je provˇ

erka zakonˇ

cena, nebot’ funkce y

=

y(x) vyhovuje v´

ychoz´ı

rovnici (1.10).

1.7

Kolik ˇ

reˇ

sen´ı m´

a diferenci´

aln´ı rovnice?

Doposud jsme se v˚

ubec nezab´

yvali ot´

azkou kolik m˚

uˇ

ze m´ıt dan´

a diferenci´

aln´ı rovnice

ˇreˇsen´ı. Kdyˇ

z jsme analyzovali rovnici (1.1), vˇ

edˇ

eli jsme, ˇ

ze jej´ım ˇreˇsen´ı je pˇrinejmenˇs´ım

funkce y = e−x

2

. Nen´ı ale pravda, ˇ

ze to je jedin´