M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

ema vlastnostmi. Tˇ

emi jsou:

• rovnice obsahuje z´

avislou promˇ

ennou y a vˇsechny jej´ı derivace pouze v prvn´ıch

mocnin´

ach, tj., mocnina kaˇ

zd´

eho ˇ

clenu pouˇ

z´ıvaj´ıc´ıho y je 1;

• kaˇzd´

y koeficient z´

avis´ı pouze na nez´

avisl´

e promˇ

enn´

e.

V rovnici (1.2) je nez´

avislou promˇ

ennou promˇ

enn´

a x. V univerzitn´ıch textech je

uˇ

z´ıv´

ana modifikovan´

a definice linearity, op´ıraj´ıc´ı se na provˇ

eˇren´ı vlastnost´ı linearity

oper´

atoru, kter´

y je definovan´

y levou stranou rovnice (1.2). Line´

arn´ımi rovnicemi

jsou, napˇr´ıklad, rovnice

x

2dy + ydx = 0,

z

00 + 12z0 + x · z = sin x,

−xy

000 − x3y00 + 3xy0 + 5y = ln2 x.

1.5. CO JE TO ˇ

REˇ

SEN´

I DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE?

5

Definice 4. Rovnici, kter´

a nen´ı line´

arn´ı, naz´

yv´

ame neline´

arn´ı.

Uved’me nˇ

ekolik pˇr´ıklad˚

u neline´

arn´ıch diferenci´

aln´ıch rovnic (samostatnˇ

e zd˚

uvodnˇ

ete,

proˇ

c uveden´

e rovnice nemohou b´

yt line´

arn´ımi rovnicemi):

y · y

000 + 8y0 = x,

z · z

0 · z00 = x7,

dy

dx

= −

x

y

,

y

00 + y3 = 0.

V naˇsich modulech se budeme zab´

yvat nˇ

ekter´

ymi neline´

arn´ımi rovnicemi z teoret-

ick´

eho pohledu, nebot’ pro nˇ

e m˚

uˇ

zeme definovat nˇ

ekter´

e teoretick´

e pojmy a uk´

azat na

nˇ

ekter´

e jejich vlastnosti, kter´

e maj´ı ˇsirˇs´ı platnost. P˚

ujde, napˇr´ıklad, o tyto rovnice:

neline´

arn´ı rovnici prvn´ıho ˇr´

adu v tzv. norm´

aln´ım tvaru

y

0 = f(x, y),

(1.3)

neline´

arn´ı rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (zobecˇ

nuj´ıc´ı pˇredchoz´ı rovnici) v tzv. norm´

aln´ım tvaru

y

(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n−1)).

(1.4)

a obecnou neline´

arn´ı rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (zobecˇ

nuj´ıc´ı pˇredchoz´ı rovnici) v implic-

itn´ım tvaru

F (x, y, y

0, . . . , y(n−1), y(n)) = 0.

(1.5)

1.5

Co je to ˇ

reˇ

sen´ı diferenci´