M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a mnoˇ

zina funkc´ı

y = (C1 + C2x)e

2x,

(1.14)

kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty, je ˇreˇsen´ım diferenci´

aln´ı rovnice (1.7), tj. rovnice

y

00 − 4y0 + 4y = 0

(1.15)

na intervalu I = (−∞, ∞).

10

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

ˇ

Reˇ

sen´ı.

ˇ

C´

asteˇ

cn´

a provˇ

erka jiˇ

z byla provedena pˇri ˇreˇsen´ı Pˇr´ıkladu 1. Nyn´ı

provedeme v´

ypoˇ

cet obecnˇ

eji. Najdeme prvn´ı a druhou derivaci v´

yrazu (1.14).

Dost´

av´

ame

y

0 = 2xC

2e

2x + (2C

1 + C2)e

2x,

y

00 = 4C

2xe

2x + 4(C

1 + C2)e

2x.

V kaˇ

zd´

em bodˇ

e intervalu I (a pro libovolnˇ

e zvolen´

e konstanty C1 a C2) plat´ı

y

00 − 4y0 + 4y =

4C2xe

2x + 4(C

1 + C2)e

2x − 4 2xC

2e

2x + (2C

1 + C2)e

2x + 4(C

1 + C2x)e

2x = 0.

Dan´

a funkce je opravdu ˇreˇsen´ım rovnice na intervalu I.

Samostatnˇ

e si proanalyzujte vztah mezi uveden´

ymi pˇr´ıklady, ve kter´

ych mˇ

ely dan´

e

rovnice nekoneˇ

cnˇ

e mnoho ˇreˇsen´ı a mezi uvenenou definic´ı ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice

(Definice 5). I kdyˇ

z se v t´

eto definici hovoˇr´ı o jednom konkr´

etn´ım ˇreˇsen´ı nedoch´

az´ı

k ˇ

z´

adn´

emu rozporu s t´ım, ˇ

ze rovnice m˚

uˇ

ze m´ıt v´ıce neˇ

z jedno ˇreˇsen´ı.

1.8

Jak naz´

yv´

ame jednotliv´

e typy ˇ

reˇ

sen´ı?

V pˇredchoz´ı ˇ

c´

asti jsme se setkali s r˚

uzn´

ymi n´

azvy, kter´

e pro charakterizaci ˇreˇsen´ı

nebo mnoˇ

zin ˇreˇsen´ı pouˇ

z´ıv´

ame. Nˇ

ekter´

y funkˇ

cn´ı pˇredpis m˚

uˇ

ze zad´

avat pouze jedno

ˇreˇsen´ı dan´

e diferenci´

aln´ı rovnice, jin´

y z´

apis m˚

uˇ

ze charakterizovat mnoˇ

zinu ˇreˇsen´ı,

popˇr´ıpadˇ

e vˇsechna ˇreˇsen´ı dan´

e diferenci´

aln´ı rovnice. Nyn´ı se sezn´

am´ıme se stan-

dardn´ımi term´ıny, kter´

e se v takov´

ych situac´ıch pouˇ

z´ıvaj´ı.

Definice 6 (Partikul´

arn´ı ˇ

reˇ

sen´ı) ˇ

Reˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice, kter´