M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

e neob-

sahuje ˇ

z´

adn´

e libovoln´

e parametry naz´

yv´

ame partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı.

Mnoˇ

ziny ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice charakterizujeme pomoc´ı parametr˚

u. Na pˇr´ıkladu

rovnice prvn´ıho ˇr´

adu (1.1) jsme vidˇ

eli, ˇ

ze jist´

a mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı dan´

a vzorcem (1.13)

je jednoparametrick´

a. Mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice druh´

eho ˇr´

adu (1.7) je

dvouparametrick´

a (viz vztah (1.14)). Proto lze oˇ

cek´

avat, ˇ

ze rovnice n-t´

eho ˇr´

adu

(napˇr´ıklad line´

arn´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu (1.2) nebo obecn´

a implicitn´ı rovnice (1.8)

n-t´

eho ˇr´

adu) bude m´ıt n-parametrickou mnoˇ

zinu ˇreˇsen´ı. Tato ´

uvaha je zhrnuta v

n´

asleduj´ıc´ı definici:

1.8. JAK NAZ ´

YV ´

AME JEDNOTLIV ´

E TYPY ˇ

REˇ

SEN´

I?

11

Definice 7 (Parametrick´

e ˇ

reˇ

sen´ı) Uvaˇ

zujme rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (1.8).

Mnoˇ

zinu funkc´ı, obsahuj´ıc´ı n parametr˚

u C1, C2, . . . , Cn, zapsanou pomoc´ı

relace:

G(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0

(1.16)

naz´

yv´

ame n-parametrickou mnoˇ

zinou ˇreˇsen´ı, jestliˇ

ze libovoln´

a pˇr´ıpustn´

a speci-

fikace parametr˚

u

C1 = C

∗

1 , C2 = C

∗

2 , . . . , Cn = C

∗

n

d´

av´

a nˇ

ekter´

e partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ım t´

eto rovnice, tj., vztah

G(x, y, C

∗

1 , C

∗

2 , . . . , C

∗

n) = 0

(1.17)

je nˇ

ekter´

ym konkr´

etn´ım (a obecnˇ

e implicitn´ım) ˇreˇsen´ım rovnice (1.8).

Pˇ

r´ıklad 4. Ukaˇ

zte, ˇ

ze diferenci´

aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´

adu

y

0 = x ·

p|y|,

(1.18)

ve kter´

e povaˇ

zujeme hodnotu

p|y| za nez´apornou, m´a trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı y = 0 a m´a

jednoparametrickou mnoˇ

zinu ˇreˇsen´ı danou vztahem

y =

 x2

4

+ C

2

,

(1.19)

kde C je libovoln´

a nez´

aporn´

a konstanta.

Ot´

azka pro v´

as:

Obsahuje tato jednoparametrick´

a mnoˇ

zina vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice (1.18)?

12

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

ˇ