M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

aln´ı rovnice?

V ˇ

c´

asti 1.1 na stranˇ

e 1 jsme sestavili diferenci´

aln´ı rovnici (1.1), o kter´

e jsme pˇredem

vˇ

edˇ

eli, ˇ

ze m´

a ˇreˇsen´ı y = e−x

2

. Uved’me jeˇstˇ

e jeden pˇr´ıklad.

Pˇ

r´ıklad 1. Provˇ

eˇrme, ˇ

ze funkce

y = xe

2x

(1.6)

je ˇreˇsen´ım line´

arn´ı rovnice

y

00 − 4y0 + 4y = 0

(1.7)

na intervalu I = (−∞, ∞).

6

KAPITOLA 1. Z ´

AKLADN´

I POJMY

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Najdeme prvn´ı a druhou derivaci funkce y. Dost´

av´

ame

y

0 = 2xe2x + e2x,

y

00 = 4xe2x + 4e2x.

V kaˇ

zd´

em bodˇ

e intervalu I plat´ı

y

00 − 4y0 + y = 4xe2x + 4e2x − 4 2xe2x + e2x + 4xe2x = 0.

Dan´

a funkce je opravdu ˇreˇsen´ım rovnice na intervalu I.

Pokusme se nyn´ı upˇresnit, co budeme naz´

yvat ˇreˇsen´ım diferenci´

aln´ı rovnice. Pˇredpo-

kl´

adejme, ˇ

ze je d´

ana neline´

arn´ı obyˇ

cejn´

a diferenci´

aln´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu, kterou

zap´ıˇseme v nejobecnˇ

ejˇs´ım (teoretick´

em) tvaru vztahem (1.5), tj.

F (x, y, y

0, . . . , y(n)) = 0,

(1.8)

kde F je nˇ

ekter´

a funkce n + 2 promˇ

enn´

ych. Vˇsechny typy rovnic, kter´

e budeme v

modulech vˇ

enovan´

ych diferenci´

aln´ım rovnic´ım uvaˇ

zovat, jsou speci´

aln´ımi pˇr´ıpady

rovnice (1.8).
Poukaˇ

zme na nˇ

ekter´

e d˚

uleˇ

zit´

e speci´

aln´ı pˇr´ıpady - line´

arn´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu (1.2)

je speci´

aln´ım pˇr´ıpadem implicitn´ı rovnice (1.8). Skuteˇ

cnˇ

e, v´

ybˇ

erem funkce F

F (x, y, y

0, . . . , y(n)) := a

n(x)y

(n) + a

n−1(x)y

(n−1) + · · · + a

1(x)y

0 + a

0(x)y − g(x),

dost´

av´

ame line´

arn´ı rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (1.2). Poloˇ

z´ıme-li

F (x, y, y

0, . . . , y(n)) := y(n) − f(x, y, y0, . . . , y(n−1)),

dost´

av´

ame neline´

arn´ı rovnici n-t´

eho ˇr´

adu (1.4) a v pˇr´ıpadˇ

e n = 1 neline´