M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

(1.9)

Kaˇ

zd´

y explicitn´ı tvar lze na implicitn´ı tvar pˇrev´

est. Napˇr´ıklad, implicitn´ı vztah (1.9)

ve kter´

em ψ(x, y) := y − e−x

2

zad´

av´

a ˇreˇsen´ı rovnice (1.7). Opaˇ

cn´

e tvrzen´ı vˇsak ne-

plat´ı v tom smyslu v jak´

em bychom si to pˇr´

ali. Pot´ıˇ

z je v tom, ˇ

ze z rovnice (1.9)

nedok´

aˇ

zeme vˇ

zdy vyj´

adˇrit y jako funkci promˇ

enn´

e x. Teoreticky dok´

azat existenci

funkce y = y(x) rovnice (1.9) je moˇ

zn´

e, napˇr´ıklad, uˇ

zit´ım vˇ

et o implicitn´ıch funkc´ıch

(o kter´

ych jste v pˇredn´

aˇsk´

ach z matematiky slyˇseli). Vyˇreˇsit rovnici (1.9) v tzv.

analytick´

em tvaru, tedy naj´ıt y jako nˇ

ekterou konkr´

etn´ı funkci promˇ

enn´

e x b´

yv´

a

´

ulohou obt´ıˇ

znou a ˇ

casto neˇreˇsitelnou. Vzhledem ke skuteˇ

cnosti, kterou budeme v

modulech o diferenci´

aln´ıch rovnic´ıch jeˇstˇ

e zmiˇ

novat, totiˇ

z, ˇ

ze typick´

a je situace, ˇ

ze

dan´

a diferenci´

aln´ı rovnice nejde vyˇreˇsit analyticky (souslov´ı ,,nejde vyˇreˇsit analyt-

icky“ znamen´

a, ˇ

ze v mnoˇ

zinˇ

e n´

am zn´

am´

ych funkc´ı - polynom˚

u, lomen´

ych funkc´ı,

exponenci´

aln´ıch funkc´ı a funkc´ı k nim inverzn´ıch, goniometrick´

ych funkc´ı a funkc´ı k

nim inverzn´ıch, atd. ˇreˇsen´ı dan´

e rovnice neexistuje) je fakt nalezen´ı ˇreˇsen´ı v implic-

itn´ım tvaru jiˇ

z velmi pozitivn´ım zjiˇstˇ

en´ım.

ˇ

Reˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice vyj´

adˇren´

e implicitn´ım tvarem, povaˇ

zujeme za rovno-

cenn´

e explicitn´ımu vyj´

adˇren´ı ˇreˇsen´ı.

Ukaˇ

zme na pˇr´ıkladu, ˇ

ze ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ı rovnice m˚

uˇ

ze m´ıt implicitn´ı tvar.

Pˇ

r´ıklad 2. Provˇ

eˇrte, ˇ

ze funkce y = y(x) implicitnˇ

e zadan´

a vztahem

y − e

x2y = 0

(1.10)

je ˇreˇsen´ım diferenci´

aln´ı rovnice

y

0 · (1 − x2y) = 2xy2

(1.11)

pro kaˇ

zd´

y bod x ∈ I = (−∞, ∞).