M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ymi term´ıny t´
eto oblasti.
V matematice jste se sezn´
amili s pojmem derivace funkce. Derivace funkce y = f (x)
(podle promˇ
enn´
e x)
dy
dx
= f
0(x)
je opˇ
et funkc´ı promˇ
enn´
e x a m˚
uˇ
ze b´
yt nalezena podle zn´
am´
ych pravidel. Napˇr´ıklad
derivace funkce y = e−x
2
je
dy
dx
= −2xe
−x2 ,
coˇ
z lze zapsat i jinak, napˇr.
dy
dx
= −2xy.
(1.1)
Probl´
em, kter´
y budeme v n´
asleduj´ıc´ıch dvou modulech studovat, se d´
a struˇ
cnˇ
e
pˇrirovnat k n´
asleduj´ıc´ımu: je-li d´
ana rovnice, napˇr´ıklad, dy/dx = −2xy, pak se
budeme snaˇ
zit nˇ
ejak´
ym zp˚
usobem naj´ıt funkci y = f (x), kter´
a t´
eto rovnici vy-
hovuje. Jin´
ymi slovy, pˇrejeme si ˇreˇsit danou diferenci´
aln´ı rovnici.
Definice 1. Rovnice obsahuj´ıc´ı derivace nebo diferenci´
aly jedn´
e z´
avisl´
e
funkce (nebo v´ıce z´
avisl´
ych funkc´ı) je naz´
yv´
ana diferenci´
aln´ı rovnic´ı.
Rovnici naz´
yv´
ame obyˇ
cejnou, obsahuje-li pouze jednu nez´
avislou promˇ
ennou.
V opaˇ
cn´
em pˇr´ıpadˇ
e naz´
yv´
ame danou rovnici parci´
aln´ı.
Diferenci´
aln´ı rovnice podle uveden´
e definice ˇ
clen´ıme na obyˇ
cejn´
e a parci´
aln´ı. D´
ale
jeˇstˇ
e urˇ
cujeme ˇr´
ad diferenci´
aln´ı rovnice a prov´
ad´ıme klasifikaci rovnic na line´
arn´ı
a neline´
arn´ı.
1.2
Obyˇ
cejn´
e a parci´
aln´ı diferenci´
aln´ı rovnice
Obsahuje-li rovnice pouze obyˇ
cejn´
e derivace (tj. nikoliv parci´
aln´ı derivace) jedn´
e
z´
avisl´
e promˇ
enn´
e vzhledem vzhledem k jedn´
e nez´
avisl´
e promˇ
enn´
e, pak ji naz´
yv´
ame
obyˇ
cejnou diferenci´
aln´ı rovnic´ı. Uved’me pˇr´ıklady obyˇ
cejn´
ych diferenci´
aln´ıch rovnic:
dy
dt
− 6y = sin t,
(2y − 4x)dy + 4x
2dx = 0,
d3u
dz3
+ z ·
du
dz
− u = 0.
V prvn´ı rovnici je hledanou funkc´ı y = y(t), ve druh´
e rovnici y = y(x) a ve tˇret´ı
rovnici u = u(z).
1.3. ˇ
R ´
AD DIFERENCI ´