M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ALN´
I ROVNICE
3
Nyn´ı uvedeme nˇ
ekter´
e pˇr´ıklady parci´
aln´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic, kter´
e obsahuj´ı
parci´
aln´ı derivace nezn´
am´
ych funkc´ı vzhledem k nejm´
enˇ
e dvˇ
ema nez´
avisl´
ym promˇ
en-
n´
ym. Parci´
aln´ı diferenci´
aln´ı rovnic´ı je rovnice
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 1,
kde u = u(x, y, z) je hledan´
a z´
avisl´
a promˇ
enn´
a, z´
avisej´ıc´ı na promˇ
enn´
ych x, y a z.
N´
asleduj´ıc´ımi parci´
aln´ımi rovnicemi jsou popisov´
any nˇ
ekter´
e konkr´
etn´ı jevy. Rovnice
∂2u
∂t2
=
∂2u
∂x2
je parci´
aln´ı diferenci´
aln´ı rovnic´ı popisuj´ıc´ı kmity struny. Tvar t´
eto rovnice je v uˇ
cebni-
c´ıch o parci´
aln´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic´ıch odvozen na z´
akladˇ
e fyzik´
aln´ıch z´
akonitost´ı.
V t´
eto rovnici je u = u(t, x) nezn´
amou z´
avislou funkc´ı a t a x jsou nez´
avisl´
e
promˇ
enn´
e. Rovnice
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0,
kde u = u(x, y, z) je hledan´
a z´
avisl´
a funkce a x, y a z jsou nez´
avisl´
e promˇ
enn´
e,
je parci´
aln´ı diferencik´
aln´ı rovnic´ı, popisuj´ıc´ı hodnotu teplotu uvnitˇr stejnorod´
eho
izotropn´ıho tˇ
elesa za pˇredpokladu, ˇ
ze se teplota ust´
alila a nemˇ
en´ı se s ˇ
casem. Tak´
e
odvozen´ı tvaru t´
eto rovnice lze naj´ıt, napˇr´ıklad, v literatuˇre vˇ
enovan´
e parci´
aln´ım
diferenci´
aln´ım rovnic´ıcm. Tato rovnice je naz´
yv´
ana Laplaceovou rovnic´ı.
V modulech vˇ
enovan´
ych diferenci´
aln´ıch rovnic´ım se budeme zab´
yvat pouze obyˇ
cejn´
y-
mi diferenci´
aln´ımi rovnicemi. Dobr´
a znalost problematiky obyˇ
cejn´
ych diferenci´
aln´ıch
rovnic je z´
akladem pro studium parci´
aln´ıch diferenci´
aln´ıch rovnic.
1.3
ˇ
R´
ad diferenci´
aln´ı rovnice
Definice 2. ˇ
R´
adem diferenci´
aln´ı rovnice naz´
yv´
ame ˇr´
ad nejvyˇsˇs´ı derivace
v dan´
e diferenci´
aln´ı rovnici.
Urˇ
ceme ˇr´
ad nˇ
ekolika diferenci´
aln´ıch rovnic. Obyˇ
cejn´
a diferenci´