M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

arn´ı rovnici

prvn´ıho ˇr´

adu (1.3).

Vyhovuje-li funkce y = f (x) na intervalu I rovnici (1.8), tj. je-li zde

F (x, f (x), f

0(x), . . . , f(n)(x)) ≡ 0,

pak ˇr´ık´

ame, ˇ

ze funkce y = f (x) je ˇreˇsen´ım rovnice (1.8) na intervalu I. Struˇ

cnˇ

e

m˚

uˇ

zeme vyj´

adˇrit pojem ˇreˇsen´ı takto:

Definice 5. Funkci f naz´

yv´

ame ˇreˇsen´ım rovnice (1.8) na intervalu I, pokud

ji substituce y = f (x) mˇ

en´ı na tomto intervalu v identitu. ˇ

Reˇsen´ı se tak´

e ˇ

casto

naz´

yv´

a integr´

aln´ı kˇrivkou.

´

Ukol pro v´

as:

Provˇ

eˇrte, ˇ

ze dan´

e funkce f jsou ˇreˇsen´ı dan´

y rovnic na intervalu I = (−∞, ∞):

a) f : y = −

1
2 x cos x, y

00 + y = sin x + cos 2x;

b) f : y = −

1
3 cos 2x, y

00 + y = cos 2x.

1.6. M ´

A ˇ

REˇ

SEN´

I DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE V ˇ

ZDY EXPLICITN´

I TVAR?

7

1.6

M´

a ˇ

reˇ

sen´ı diferenci´

aln´ı rovnice vˇ

zdy explicitn´ı

tvar?

V pˇredchoz´ım odstavci bylo ˇreˇsen´ı rovnice (1.7) z Pˇr´ıkladu 1 zad´

ano vztahem (1.6).

Tento vztah je tzv. explicitn´ı, tj. hodnota nezn´

am´

e funkce je d´

ana pˇredpisem, kter´

y

m´

a obecn´

y tvar y = ω(x), kde funkce ω je d´

ana. Ve v´

yˇse uveden´

em pˇr´ıkladu je

ω(x) := e−x

2

. Z matematiky v´ıme, ˇ

ze funkce mohou m´ıt r˚

uzn´

a zad´

an´ı (r˚

uzn´

e funkˇ

cn´ı

pˇredpisy). Explicitn´ı zad´

an´ı pˇritom patˇr´ı k zad´

an´ım nejv´ıce preferovan´

ym. Ne vˇ

zdy

ale dok´

aˇ

zeme ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ıch rovnice nal´

ezt v explicitn´ım tvaru. Budeme velmi

spokojeni jiˇ

z v pˇr´ıpadˇ

e, kdy se n´

am povede nal´

ezt ˇreˇsen´ı v tzv. implicitn´ım tvaru.

Zopakujme, ˇ

ze implicitn´ı tvar funkce je tvarem, kter´

ym je funkce y = y(x) zad´

ana

pomoc´ı rovnosti

ψ(x, y) = 0.