M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

e ˇreˇsen´ı rovnice (1.1). Uvaˇ

zujme

1.7. KOLIK ˇ

REˇ

SEN´

I M ´

A DIFERENCI ´

ALN´

I ROVNICE?

9

jednoparametrickou mnoˇ

zinu funkc´ı

y = Ce

−x2 ,

(1.13)

kde C je libovoln´

a re´

aln´

a konstanta.

Pˇr´ım´

ym dosazen´ım v´

yrazu (1.13) do rovnice (1.1) se m˚

uˇ

zeme pˇresvˇ

edˇ

cit, ˇ

ze pro

kaˇ

zd´

e konkr´

etn´ı C je tento v´

yraz ˇreˇsen´ım rovnice.

Napˇr´ıklad v´

yˇse uveden´

a funkce y = e−x

2

, odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇ

e parametru C = 1,

funkce y = 2004e−x

2

, odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇ

e parametru C = 2004 nebo funkce y = 0,

odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇ

e parametru C = 0 jsou jednotliv´

ymi ˇreˇsen´ımi (ˇr´ık´

ame, ˇ

ze jsou

tzv. partikul´

arn´ımi ˇreˇsen´ımi) rovnice (1.1).

Pozn´

amka 1. Pokud m´

a nˇ

ekter´

a rovnice tak jako v naˇsem pˇr´ıkladu ˇreˇsen´ı y = 0,

ˇr´ık´

ame tomuto ˇreˇsen´ı nulov´

e nebo tak´

e trivi´

aln´ı.

Vid´ıme tedy, ˇ

ze rovnice (1.1) m´

a nekoneˇ

cnˇ

e mnoho ˇreˇsen´ı. U mnoˇ

zin, kter´

e maj´ı

nekoneˇ

cnˇ

e mnoho prvk˚

u m˚

uˇ

zeme s c´ılem charakterizace jak ,,velk´

e“ nekoneˇ

cno je

myˇsleno uˇ

z´ıt pojmu tzv. mohutnosti mnoˇ

ziny (nebo t´

eˇ

z kardinality mnoˇ

ziny).

Vysvˇ

etlen´ı tˇ

echto pojm˚

u jde nad r´

amec naˇsich modul˚

u. Pro naˇsi charakterizaci

bude ´

uplnˇ

e staˇ

cit sdˇ

elen´ı, ˇ

ze mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı rovnice (1.1) popsan´

a vzorcem (1.13)

je jednoparametrick´

a.

V dalˇs´ım v´

ykladu uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze typickou vlastnost´ı ˇreˇsen´ı diferenci´

aln´ıch rovnic je to,

ˇ

ze maj´ı nekoneˇ

cnˇ

e mnoho ˇreˇsen´ı a ˇ

ze ,,bohatost“ tohoto nekoneˇ

cna m˚

uˇ

zeme popsat

pomoc´ı jednoho ˇ

ci v´ıce nez´

avisl´

ych parametr˚

u, kter´

e ve tvaru ˇreˇsen´ı figuruj´ı.

Ilustrujme n´

asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladem fakt, ˇ

ze mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı m˚

uˇ

ze b´

yt dvouparamet-

rick´

a:

Pˇ

r´ıklad 3. Ukaˇ

zte, ˇ

ze dvouparametrick´