M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

Reˇ

sen´ı.

Je zˇrejm´

e, ˇ

ze rovnici (1.18) vyhovuje funkce y = 0. Pokraˇ

cujme

provˇ

erkou parametrick´

e mnoˇ

ziny (1.19). Derivov´

an´ım obdrˇ

z´ıme

y

0 = 2 ·

 x2

4

+ C

·

2x

4

= x ·

 x2

4

+ C

.

Prav´

a strana rovnice (1.18) po dosazen´ı v´

yrazu (1.19) d´

av´

a

x ·

s

 x2

4

+ C

2

= x ·

 x2

4

+ C

,

protoˇ

ze

x2

4

+ C ≥ 0.

T´ım je provˇ

erka zakonˇ

cena.

Vrat’me se k probl´

emu, zda jsou vztahem (1.19) d´

ana vˇsechna ˇreˇsen´ı. Pˇrestoˇ

ze jsme

rovnici (1.18) neˇreˇsili, lze na poloˇ

zenou ot´

azku odpovˇ

edˇ

et z´

apornˇ

e. ˇ

Z´

adnou konkr´

etn´ı

volbou konstanty C ve vztahu (1.19) nedostaneme trivi´

aln´ı ˇreˇsen´ı a to ani kdyby-

chom pˇripustili z´

aporn´

e hodnoty C. Napˇr´ıklad volbou C = 0 dost´

av´

ame ˇreˇsen´ı

y =

x4

16

,

nikoliv vˇsak trivi´

aln´ı ˇreˇsen´ı.

Pr´

avˇ

e uveden´

y pˇr´ıklad je dobrou ilustrac´ı rozd´ılu mezi pojmy paramerick´

eho ˇreˇsen´ı

a obecn´

eho ˇreˇsen´ı.

Definice 8 (Obecn´

e ˇ

reˇ

sen´ı) Lze-li kaˇ

zd´

e ˇreˇsen´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu (1.8)

obdrˇ

zet z mnoˇ

ziny funkc´ı, obsahuj´ıc´ı n parametr˚

u C1, C2, . . . , Cn a zapsanou

pomoc´ı relace:

G(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0

(1.20)

nˇ

ekter´

ym konkr´

etn´ım v´

ybˇ

erem parametr˚

u

C1 = C

∗

1 , C2 = C

∗

2 , . . . , Cn = C

∗

n,

pak ˇr´ık´

ame, ˇ

ze n-parametrick´

a mnoˇ

zina (1.20) je obecn´

ym (kompletn´ım)

ˇreˇsen´ım rovnice (1.8).

Jednoparametrick´

a mnoˇ

zina funkc´ı (1.19) tedy nen´ı obecn´

ym ˇreˇsen´ım rovnice (1.18),

nebot’ neobsahuje vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. ˇ

Reˇsen´ı, kter´

e tato mnoˇ

zina neobsahuje je,

1.8. JAK NAZ ´

YV ´

AME JEDNOTLIV ´

E TYPY ˇ

REˇ

SEN´

I?

13

napˇr´ıklad, trivi´

aln´ı ˇreˇsen´ı. ˇ

Reˇsen´ı, kter´

e nelze z´ıskat z parametrick´

e mnoˇ

ziny ˇreˇsen´ı

naz´

yv´

ame singul´

arn´ım ˇreˇsen´ım.