M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

e v pr˚

ubˇ

ehu

jej´ıho ˇreˇsen´ı.

Pˇ

r´ıklad 6. Pomoc´ı metody izokl´ın naˇ

crtnˇ

ete pˇribliˇ

znˇ

e integr´

aln´ı kˇrivky diferenci´

aln´ı

rovnice prvn´ıho ˇr´

adu

y

0 = x + y − 1.

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Volme napˇr´ıklad k = −

√

3/3, 0, 1,

√

3. Pak vztah (2.3) vyjadˇruje

mnoˇ

zinu pˇr´ımek

x + y = k + 1

pro k = −

√

3/3, 0, 1,

√

3.

Izokl´ıny spolu s pˇribliˇ

zn´

ym pr˚

ubˇ

ehem nˇ

ekter´

ych integr´

aln´ıch kˇrivek, jsou na

zn´

azornˇ

eny na n´

aˇ

crtku 2.1.

Obr´

azek 2.1: Smˇ

erov´

e pole rovnice y0 = x + y − 1.

´

Ukol pro v´

as:

Pomoc´ı metody izokl´ın naˇ

crtnˇ

ete pˇribliˇ

znˇ

e integr´

aln´ı kˇrivky diferenci´

aln´ı rovnice

prvn´ıho ˇr´

adu y0 = x2 + y2.

18

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

Euler˚

uv polygon

Uvaˇ

zujme poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohu (2.1), kde bod (x0, y0) a tak´e niˇze popsan´

a konstrukce

leˇ

z´ı v definiˇ

cn´ım oboru funkce f (x, y). Diferenci´

aln´ı rovnice (2.2) je urˇ

ceno smˇ

erov´

e

pole. Proloˇ

zme bodem (x0, y0) pˇr´ımku se smˇernic´ı k0 = f (x0, y0). Pˇredpokl´

adejme,

ˇ

ze jsou d´

any body x0 < x1 < x2 < · · · < xn, kde n ≥ 1. Pak na t´eto pˇr´ımce

existuje bod (x1, y1), kter´

y je jej´ım pr˚

useˇ

c´ıkem s pˇr´ımkou o rovnici x = x1. Bo-

dem (x1, y1) proloˇzme pˇr´ımku se smˇernic´ı k1 = f (x1, y1) a podobnˇe definujme
pr˚

useˇ

c´ık (x2, y2). T´ımto pr˚

useˇ

c´ıkem opˇ

et proloˇ

zme pˇr´ımku se smˇ

ernic´ı k2 = f (x2, y2).

Opakov´

an´ım tohoto postupu dost´

av´

ame nakonec bod (xn, yn). Lomen´

a ˇ

c´

ara spojuj´ıc´ı

body (x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn) se naz´

yv´

a Eulerov´

ym polygonem. Je zn´

azornˇ

ena

na obr´

azku 2.2. Euler˚

uv polygon za urˇ

cit´

ych podm´ı-nek (obecnˇ

e, napˇr´ıklad, pˇredpokl´