M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

ana v Pˇr´ıkladu 4 na stranˇ

e 11. Jej´ı

prav´

a strana, tj. funkce f (x, y) := x ·

p|y| je spojit´a na okol´ı bodu (0, 0).

Proto dle Peanovy vˇ

ety existuje alespoˇ

n jedno ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.8).

Jednoznaˇ

cnost ˇreˇsen´ı nen´ı vˇ

etou garantov´

ana. Jak bylo uk´

az´

ano v Pˇr´ıkladu 4,

poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha (2.8) m´

a nejm´

enˇ

e dvˇ

e ˇreˇsen´ı, totiˇ

z trivi´

aln´ı ˇreˇsen´ı y = 0 a ˇreˇsen´ı

y = x4/16.

22

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

´

Ukol pro v´

as:

Z pohledu Peanovy vˇ

ety proved’te diskusi poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

( y0 − y = f (x),

y(1) = 1,

(2.9)

kde

f (x) =

x − 1

ln x

pro x 6= 1,

1

pro x = 1.

Numerick´

e ˇ

reˇ

sen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

Jednoduch´

a myˇslenka, obsaˇ

zen´

a v konstrukci Eulerov´

ych polygon˚

u je, jak bylo uve-

deno v´

yˇse, pouˇ

zita k d˚

ukazu Peanovy vˇ

ety. Pro matematiku je typick´

e, ˇ

ze se za

mnoh´

ymi d˚

uleˇ

zit´

ymi matematick´

ymi v´

ysledky skr´

yvaj´ı velmi prost´

e ´

uvahy a myˇslenky.

Jednou ze z´

akladn´ıch numerick´

ych metod ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1) je takzvan´

a

Eulerova metoda. Uvedeme nyn´ı jej´ı algoritmus, kter´

y nen´ı niˇ

c´ım jin´

ym neˇ

z kon-

strukc´ı nˇ

ekter´

eho Eulerova polygonu. Na z´

akladˇ

e uveden´

e myˇslenky d˚

ukazu Peanovy

vˇ

ety mus´ı tato metoda konvergovat k nˇ

ekter´

emu ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy. (Pokud bude

zajiˇstˇ

eno, ˇ

ze ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy je jedin´

e, pak bude metoda samozˇrejmˇ

e konver-

govat k tomuto ˇreˇsen´ı.) Je-li d´

ana koneˇ

cn´

a mnoˇ

zina bod˚

u x0, x1, . . . , xn

xi = x0 + i · h, i = 1, 2, . . . , n,

kde tzv. krok h je dan´

e (dostateˇ

cnˇ

e mal´

e) kladn´

e ˇ

c´ıslo a index n je pˇredeps´