M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

n

jednoho ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1). Jej´ım hlavn´ım poˇ

zadavkem je, aby prav´

a strana

rovnice (2.2) byla na oblasti D spojitou funkc´ı argument˚

u x a y (p´ıˇseme f ∈ C(D)).

Z matematick´

ych pˇredmˇ

et˚

u v´ıme, ˇ

ze pak existuje konstanta M takov´

a, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e

(x, y) ∈ D plat´ı:

|f (x, y)| ≤ M.

M˚

uˇ

zeme, napˇr´ıklad, poloˇ

zit ˇ

c´ıslo M maxim´

aln´ı hodnotˇ

e funkce f (x, y), dosaˇ

zen´

e na

oblasti D, (tj. absolutn´ımu maximu):

M := max

D

|f (x, y)|.

Vˇ

eta 1 (Peanova) Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze prav´

a strana rovnice (2.2) je spojit´

a na

oblasti D vzhledem k obˇ

ema argument˚

um x a y. Pak m´

a poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha (2.1) ˇ

reˇ

sen´ı

y = y(x), kter´

e je definov´

ano na intervalu |x − x0| ≤ h, kde

h := min

a,

b

M

.

(2.7)

2.5. EXISTENCE A JEDNOZNA ˇ

CNOST ˇ

REˇ

SEN´

I PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY

21

Graf tohoto ˇ

reˇ

sen´ı leˇ

z´ı na uveden´

em intervalu v oblasti D, tj.,

|y(x) − y0| ≤ b,

jestliˇ

ze

|x − x0| ≤ h.

Prostudujte si n´

akres 2.4

D˚

ukaz t´

eto vˇ

ety nebudeme prov´

adˇ

et. Jenom podtrhnˇ

eme, ˇ

ze pˇri jeho proveden´ı je

Obr´

azek 2.4: Peanova existenˇ

cn´ı vˇ

eta.

vyuˇ

zita myˇslenka konstrukce Eulerov´

ych polygon˚

u:

Pokud poˇ

cet n bod˚

u x0, x1, x2, . . . , xn, kde je poloˇzeno xn := h, kter´e byly pˇri kon-

strukci polygonu, roste do nekoneˇ

cna, plat´ı x0 < x1 < x2 < · · · < xn a vzd´

alenosti

mezi jednotliv´

ymi body konverguj´ı k nule, dost´

av´

ame posloupnost polygon˚

u, kter´

a

konverguje k ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.1).

Pˇ

r´ıklad 7. Z pohledu Peanovy vˇ

ety proved’te diskusi poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy

( y0 = x ·

p|y|,

y(0) = 0.

(2.8)

ˇ

Reˇ

sen´ı.

Uvaˇ

zovan´

a rovnice byla diskutov´