M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

y. Je nutn´

e odpovˇ

edˇ

et na ot´

azku zdali maj´ı

20

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy opravdu nˇ

ejak´

e ˇreˇsen´ı. Kladn´

a odpovˇ

ed uspokoj´ı nejen teoretick´

eho

badatele, ale tak´

e praktick´

eho uˇ

zivatele, napˇr´ıklad odborn´ıka v nˇ

ekter´

e inˇ

zen´

yrsk´

e

discipl´ınˇ

e, kter´

y sestavil pomoc´ı diferenci´

aln´ıch rovnic matematick´

y model nˇ

ekter´

eho

procesu a poˇ

c´

ateˇ

cn´ı podm´ınka m˚

uˇ

ze m´ıt tˇreba v´

yznam moment zapoˇ

cet´ı procesu.

Jistˇ

e by bylo velice nepˇr´ıjemn´

e zjiˇstˇ

en´ı, ˇ

ze takto formulovan´

a ´

uloha nem´

a ˇ

z´

adn´

e

ˇreˇsen´ı. Pak by se pravdˇ

epodobnˇ

e jednalo o nehodnovˇ

ern´

y popis jevu matemat-

ick´

ym modelem. Tak´

e by asi nebylo pˇr´ıjemn´

e zjiˇstˇ

en´ı, ˇ

ze ˇreˇsen´ım modelu jsou dvˇ

e

r˚

uzn´

e funkce. Vˇ

etˇsinou v inˇ

zen´

yrsk´

ych vˇ

ed´

ach oˇ

cek´

av´

ame, ˇ

ze dan´

y jev m´

a pouze

jedno vysvˇ

etlen´ı (tedy v matematick´

e ˇreˇ

ci - ˇreˇsen´ı). Jiˇ

z pˇredem sdˇ

el´ıme radostnou

zpr´

avu, kterou pak od˚

uvodn´ıme matematicky - totiˇ

z, ˇ

ze za relativnˇ

e velice slab´

ych

pˇredpoklad˚

u ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ıch ´

uloh existuje a za nepatrnˇ

e silnˇ

ejˇs´ıch pˇredpoklad˚

u

je dokonce jedin´

e. Zrekapitulujme si jeˇstˇ

e, na jak´

e ot´

azky chceme d´

at odpovˇ

ed’:

a) Existuje ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy?

b) Jestliˇ

ze ˇreˇsen´ı existuje, je jedin´

e?

Nyn´ı pˇristupme k jejich zodpovˇ

ezen´ı.

2.5

Existence a jednoznaˇ

cnost ˇ

reˇ

sen´ı ´

ulohy (2.1)

Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze a a b jsou dan´

a kladn´

a ˇ

c´ısla. Definujme uzavˇrenou oblast D s

vnitˇrn´ım bodem (x0, y0):

D := {(x, y) ∈ R × R, |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}.

(2.6)

Peanova existenˇ

cn´ı vˇ

eta

N´

asleduj´ıc´ı vˇ

eta se naz´

yv´

a Peanovou vˇ

etou a uv´

ad´ı podm´ınky existence alespoˇ