M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

azej´ıc´ı pˇredepsan´

ym bodem (x0, y0),

tj. vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(x0) = y0. Standardnˇe p´ıˇseme rovnici a souˇradnice bodu
dohromady takto

( y0 = f (x, y)

y(x0) = y0.

(2.1)

Toto zad´

an´ı je v souladu s naˇsimi zkuˇsenostmi nabyt´

ymi pˇri anal´

yze pˇr´ıklad˚

u, kdy

rovnice prvn´ıho ˇr´

adu mˇ

ela jednoparametrickou mnoˇ

zinu ˇreˇsen´ı. Pˇredeps´

an´ım bodu,

kter´

ym m´

a ˇreˇsen´ı proch´

azet, doch´

az´ı k urˇ

cen´ı konkr´

etn´ı hodnoty parametru.

15

16

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

2.2

Geometrick´

a interpretace rovnice prvn´ıho ˇ

r´

adu

Diferenci´

aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´

adu

y

0 = f(x, y)

(2.2)

charakterizuje vlastnosti ˇreˇsen´ı tak´

e geometricky. Nyn´ı vyloˇ

z´ıme, jak´

ym zp˚

usobem

m˚

uˇ

zeme vyuˇ

z´ıt tuto rovnici k z´ısk´

an´ı informac´ı o jejich ˇreˇsen´ıch.

Smˇ

erov´

e pole

Pˇredpokl´

adejme, ˇ

ze bodem (x0, y0) proch´

az´ıˇreˇsen´ı y = y(x) diferenci´

aln´ı rovnice (2.2).

Potom je hodnota f (x0, y0), v souladu se zad´

an´ım diferenci´

aln´ı rovnice (2.2), hodno-

tou derivace ˇreˇsen´ı y = y(x) v bodˇ

e x = x0, tj. y

0(x

0) = f (x0, y0). Protoˇ

ze v´ıme, ˇ

ze

geometricky je hodnota derivace rovna smˇ

ernici teˇ

cny ke kˇrivce, je hodnota f (x0, y0)

smˇ

ernic´ı teˇ

cny k ˇreˇsen´ı y = y(x) diferenci´

aln´ı rovnice (2.2) v bodˇ

e x = x0. Tento

fakt lze ilustrovat graficky pomoc´ı v´

azan´

eho vektoru um´ıstˇ

en´

eho do bodu (x0, y0) se

smˇ

ernic´ı f (x0, y0). Na d´elce tohoto vektoru nez´

aleˇ

z´ı. M˚

uˇ

zeme ji, napˇr´ıklad, poloˇ

zit

rovnu jedn´

e. Mnoˇ

zina vˇsech vektor˚

u zkonstruovan´

ych v kaˇ

zd´

em bodˇ

e, ve kter´

em je

funkce f (x, y) definov´

ana se naz´

yv´

a smˇ

erov´

ym polem. Vytvoˇren´ı smˇ

erov´

eho pole

d´

av´

a pˇribliˇ

znou (ale velmi uˇ

ziteˇ

cnou) informaci o tom, jak vypad´