M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

epe pˇ

resvˇ

edˇ

c´ıte pomoc´ı n´

asleduj´ıc´ıho autotestu.

Autotest:
Jsou d´

any diferenci´

aln´ı rovnice:

a)

3y0 3

√

x − y = 0

d)

y000 + yy00 = sin x

b)

3

dy
dx − y +

3

√

x = 0

e)

y(4) + y00 = sin y

c)

3 3

√

xdy + ydx = 0

f)

y000 − y = sin x

• Urˇcete ˇr´

ad dan´

ych diferenci´

aln´ıch rovnic.

• Rozhodnˇete, kter´e z dan´

ych rovnic jsou line´

arn´ı.

• U line´

arn´ıch rovnic urˇ

cete, zda jsou homogenn´ı, nebo nehomogenn´ı.

Kapitola 2

Poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy pro obyˇ

cejn´

e

diferenci´

aln´ı rovnice

D´ılˇ

c´ı c´ıl:

Pˇri studiu t´

eto kapitoly se sezn´

am´ıte:

• s formulac´ı poˇc´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy nejprve pro rovnici prvn´ıho ˇr´

adu a v dalˇs´ım i pro

rovnici ˇr´

adu obecn´

eho;

• s geometrick´

ym v´

yznamem diferenci´

aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´

adu;

• s postaˇcuj´ıc´ımi podm´ınkami existence resp. existence a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı

poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy pro diferenci´

aln´ı rovnici.

2.1

Poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha pro rovnici prvn´ıho ˇ

r´

adu

Jak jsme se pˇresvˇ

edˇ

cili na pˇr´ıkladech, diferenci´

aln´ı rovnice maj´ı nekoneˇ

cnˇ

e mnoho

ˇreˇsen´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı praktick´

ych ´

uloh ˇ

casto vznik´

a n´

asleduj´ıc´ı probl´

em: vyˇ

clenit z

mnoˇ

ziny ˇreˇsen´ı pouze jedno, kter´

e proch´

az´ı nˇ

ekter´

ym dan´

ym bodem. Jin´

ymi slovy

- je poˇ

zadov´

ano urˇ

cit partikul´

arn´ı ˇreˇsen´ı, proch´

azej´ıc´ı zadan´

ym bodem. Pokud je

zn´

ama parametrick´

a mnoˇ

zina ˇreˇsen´ı dan´

e rovnice, pak je moˇ

zn´

e urˇ

cit parametry

tak, aby formulovan´

a podm´ınka platila. T´ım dojde k vyˇ

clenˇ

en´ı partikul´

arn´ıho ˇreˇsen´ı.

Pomoc´ı matematick´

eho znaˇ

cen´ı formulujeme poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohu (kter´

e se tak´

e ˇr´ık´

a

Cauchyova ´

uloha) pro diferenci´

aln´ı rovnici prvn´ıho ˇr´

adu v norm´

aln´ım tvaru takto:

naj´ıt ˇreˇsen´ı y = y(x) rovnice y0 = f (x, y), proch´