M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

a-

d´

ame, ˇ

ze body x0 a xn nejsou ,,daleko“ od sebe) charakterizuje integr´

aln´ı kˇrivku,

proch´

azej´ıc´ı bodem (x0, y0), tj. je jak´

ymsi ,,pˇribliˇ

zn´

ym“ ˇreˇsen´ım ´

ulohy (2.1).

Obr´

azek 2.2: Euler˚

uv polygon

2.3. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHA PRO ROVNICI OBECN ´

EHO ˇ

R ´

ADU

19

2.3

Poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha pro rovnici n-t´

eho ˇ

r´

adu

Situace s rovnicemi vyˇsˇs´ıch ˇr´

ad˚

u je podobn´

a jako v pˇr´ıpadˇ

e rovnice prvn´ıho ˇr´

adu.

Jak jsme vidˇ

eli v Pˇr´ıkladu 3, rovnice druh´

eho ˇr´

adu (1.15) mˇ

ela dvouparametrickou

mnoˇ

zinu ˇreˇsen´ı (1.14). K urˇ

cen´ı nˇ

ekter´

eho partikul´

arn´ıho ˇreˇsen´ı je potˇreba dvou

podm´ınek, aby bylo moˇ

zn´

e tyto dva parametry urˇ

cit. Obecnˇ

e je pro vyˇ

clenˇ

en´ı

nˇ

ekter´

eho partikul´

arn´ıho ˇreˇsen´ı rovnice n-t´

eho ˇr´

adu nutn´

e urˇ

cit n parametr˚

u. K

tomu je nezbytn´

e m´ıt celkem n podm´ınek. Poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha je pro rovnici (1.4) for-

mulov´

ana podobnˇ

e jako ´

uloha (2.1). Je nutn´

e naj´ıt ˇreˇsen´ı rovnice

y

(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n−1))

(2.4)

vyhovuj´ıc´ı n vztah˚

um

y(x0) = y0, y

0(x

0) = y

0

0, . . . , y

(n−1)(x

0) = y

(n−1)

0

,

kde x0, y0, y

0

0, . . . , y

(n−1)

0

jsou dan´

a ˇ

c´ısla, kter´

a naz´

yv´

ame poˇ

c´

ateˇ

cn´ımi podm´ınka-mi.

Pak m˚

uˇ

zeme poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohu zapsat takto:

y

(n) = f(x, y, y0, . . . , y(n−1)),

y(x0) = y0,
y0(x0) = y

0

0,

. . .

y(n−1)(x0) = y

(n−1)

0

.

(2.5)

Situace pro rovnici druh´

eho ˇr´

adu je ilustrov´

ana na obr´

azku 2.3.

Obr´

azek 2.3: Poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

uloha pro rovnici druh´

eho ˇr´

adu.

2.4

Existence ˇ

reˇ

sen´ı a existence jedin´

eho ˇ

reˇ

sen´ı

Po formulaci poˇ

c´

ateˇ

cn´ıch ´

uloh pˇristupme k zodpovˇ

ezen´ı ot´

azky, maj´ıc´ı centr´

aln´ı

v´

yznam nejen teoretick´

y, ale i praktick´