M03 - Obyčejné diferenciální rovnice I

edomit, ˇ

ze z tohoto z´

avˇ

eru nevypl´

yv´

a tvrzen´ı

ˇ

ze Lipschitzova podm´ınka neplat´ı, ale je to jiˇ

z velmi v´

aˇ

zn´

e upozornˇ

en´ı, ˇ

ze tomu

tak m˚

uˇ

ze b´

yt. Pro prok´

az´

an´ı faktu neohraniˇ

cenosti uveden´

e parci´

aln´ı derivace se

omez´ıme jenom na ty body kaˇ

zd´

eho okol´ı poˇ

c´

atku souˇradnic, kde x > 0 a y > 0,

tj. na ˇ

c´

ast prvn´ıho kvadrantu. Potom

f (x, y) = x ·

√

y

a

f

0

y (x, y) = x ·

1

2 ·

√

y

.

Nyn´ı je neohraniˇ

cenost defivace zˇrejm´

a, protoˇ

ze

lim

y→0+

f

0

y (x, y) = x lim

y→0+

·

1

2 ·

√

y

= +∞.

2.6

Existence a jednoznaˇ

cnost ˇ

reˇ

sen´ı ´

ulohy (2.5)

Uvedeme nyn´ı (bez rozˇ

clenˇ

en´ı na jednotliv´

e ˇ

c´

asti) vˇ

etu o existenci a jednoznaˇ

cnosti

ˇreˇsen´ı poˇ

c´

ateˇ

cn´ı ´

ulohy (2.5). Definujme uzavˇrenou oblast

D := {(x, y1, y2, . . . , yn) ∈ R × R

n,

|x − x0| ≤ a, |y1 − y0| ≤ b, |y2 − y

0

0| ≤ b, . . . , |yn − y

(n−1)

0

| ≤ b},

s vnitˇrn´ım bodem (x0, y0, y

0

0, . . . , y

(n−1)

0

), kde a a b jsou dan´

a kladn´

a ˇ

c´ısla.

Budeme pˇredpokl´

adat, ˇ

ze prav´

a strana rovnice (2.4) je definovan´

a a spojit´

a na D.

Pak existuje konstanta M takov´

a, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e (x, y) ∈ D plat´ı:

|f (x, y1, y2, . . . , yn)| ≤ M.

Uved’me jeˇstˇ

e formulaci Lipschitzovy podm´ınky pro tento pˇr´ıpad.

28

KAPITOLA 2. PO ˇ

C ´

ATE ˇ

CN´

I ´

ULOHY PRO ODR

Definice 11 (Lipschitzova podm´ınka) Funkce f (x, y1, y2, . . . , yn) : D →
R, vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇ

e podm´ınce vzhledem k argument˚

um

y1, y2, . . . , yn, jestliˇze pro libovoln´e dva body

(x, y

∗

1 , y

∗

2 , . . . , y

∗

n) ∈ D, (x, y

∗∗

1 , y

∗∗

2 , . . . , y